Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

 

Предложение 10.7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство.

Пусть в системе векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ подсистема $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_m$ , $ {m\leqslant k}$ , является линейно зависимой, то есть $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m=0$ , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m+0{\bf a}_{m+1}+\ldots+0{\bf a}_k$ . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

Упражнение10.4.1. Докажите, что если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая. Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Предложение 10.8 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Доказательство. Пусть система состоит из вектора $ {\bf a}_1$ . Линейная комбинация имеет вид $ {\alpha}_1{\bf a}_1$ . Если $ {{\bf a}_1=0}$ , то $ {1\cdot{\bf a}_1=0}$ , то есть система линейно зависима. Если $ {{\alpha}_1{\bf a}_1=0}$ и $ {\alpha}_1\ne0$ , то $ {{\bf a}_1={\alpha}_1^{-1}\cdot 0=0}$ .

Предложение 10.9 Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Кривые и поверхности Математика лекции примеры решения задач

Доказательство этого предложения предоставляется читателю. Оно аналогично доказательству следующего предложения.

Предложение 10.10 Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство. Пусть векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- компланарные. Если $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- коллинеарные, то в силу предыдущего предложения они образуют линейно зависимую подсистему системы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ . По предложению 10.7 система $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- линейно зависима. Если векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- неколлинеарные, то по предложению 10.2 $ {\bf a}_3$ является линейной комбинацией векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ и по предложению 10.6 система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- линейно зависимая.

Пусть система векторов линейно зависима. По предложению 10.6 один вектор, скажем $ {\bf a}_1$ , является линейной комбинацией других векторов, $ {\bf a}_2$ и $ {\bf a}_3$ , $ {{\bf a}_1={\alpha}_2{\bf a}_2+{\alpha}_3{\bf a}_3}$ . Правая часть последнего равенства лежит в плоскости, в которой лежат векторы $ {\bf a}_2,{\bf a}_3$ . Поэтому вектор $ {\bf a}_1$ лежит в одной плоскости с векторами $ {\bf a}_2,{\bf a}_3$ , то есть векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- компланарные.

Предложение 10.11 Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.

Доказательство. Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему (предложение 10.10). Следовательно, вся система линейно зависима (предложение 10.7). Если первые три вектора-- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией (предложение 10.3). По предложению 10.6 система является линейно зависимой.

На основании сказанного дадим другое определение базиса, которое является более распространенным, чем определение 10.12.

Определение 10.16 Базисом векторного пространства $ L$ называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства $ L$ раскладывается по векторам этой системы.

Из предложений 10.8 – 10.11 следует, что это определение эквивалентноопределению 10.12.


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Геометрические векторы. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Определители второго и третьего порядка. Координатное выражение векторного и смешанного произведений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)