Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда $ {m=n}$ , то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при $ {n=2}$ или $ {n=3}$ рассматриваются в школе.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица $ A$ исходной системы -- квадратная, порядка $ n$ , $ x$ и $ b$  -- столбцы высоты $ n$ . Предположим, что $ \vert A\vert\ne0$ . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства  (15.2) на $ A^{-1}$ , получим

$\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad Ex=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad x=A^{-1}b.$

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

Составить Математика решение задач уравнения касательной и нормали к кривой  в точке с абсциссой . Производная и дифференциал

$\displaystyle x=A^{-1}b.$(15.3)
 


Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть $ {{\Delta}=\vert A\vert}$ , $ {\Delta}_i$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ A$ заменой столбца с номером $ i$ на столбец $ b$ свободных членов, $ {i=1,2,\dots,n}$ :

\begin{multline*} {\Delta}_1=\left\vert\begin{array}{cccc}b_{1}&a_{12}&\dots&a_... ...dotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&b_{n}\end{array}\right\vert. \end{multline*}
        Теорема 15.1   (Правило Крамера) Если в системе $ n$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными $ {\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами
$\displaystyle x_1=\frac{{\Delta}_1}{{\Delta}},\quad x_2=\frac{{\Delta}_2}{{\Delta}},\quad \dots,\quad x_n=\frac{{\Delta}_n}{{\Delta}}.$

        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле Вычислить площадь, ограниченную кривыми

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\do... ...\dots&A_{n2}\\ \hdotsfor{4}\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$

где $ A_{ij}$ -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

$\displaystyle x= \frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\dots&... ..._n\\ \hdotsfor{1}\\ A_{1n}b_1+A_{2n}b_2+\ldots+A_{nn}b_n\end{array}\right).$

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя $ {\Delta}_1$ по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя $ {\Delta}_2$ по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому $ {x=\dfrac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{c}{\Delta}_1\\ {\Delta}_2\\ \vdots\\ {\Delta}_n\end{array}\right)}$ , откуда и следует утверждение теоремы.     

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)