Существование решения системы линейных уравнений общего вида

        Определение 15.3   Система (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.         

Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1,\\ 2x_1+2x_2=2,\\ 3x_1+3x_2=3\end{array}\right.$(15.4)
 


имеет решение $ {x_1=2}$ , $ {x_2=-1}$ и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+2x_2+2x_3=1\end{array}\right.$(15.5)
 


решений не имеет, то есть является несовместной.

Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений (15.1) дает приведенная ниже теорема.

        Определение 15.4   Расширенной матрицей системы линейных уравнений (15.1) называется матрица $ A^*$ , отличающаяся от матрицы $ A$ системы наличием дополнительного столбца из свободных членов:
Заказать перевод
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&b_1\\ ... ...{2n}&b_2\\ \hdotsfor{5}\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&b_m\end{array}\right).$
        
        Предложение 15.1   Ранг расширенной матрицы $ A^*$ либо равен рангу матрицы системы $ A$ , либо больше его на единицу.

        Доказательство.    Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы $ A$ является линейно независимой системой столбцов матрицы $ A^*$ , то в силу предложения 14.26 $ {{\rm Rg}A\leqslant {\rm Rg}A^*}$ .

Пусть $ {{\rm Rg}A=r}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*=r+k}$ , $ {k>1}$ . Тогда в матрице $ A^*$ есть линейно независимая система из $ {r+k}$ столбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице $ A$ . Тогда подсистема остальных $ {r+k-1}$ столбцов, принадлежащих матрице $ A$ , должна быть линейно независимой. Следовательно, $ {{\rm Rg}A\geqslant r+k-1}$ . Получили противоречие. Предположение, что $ {k>1}$ , неверно.     

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Платформу клиент-сервер | ActiveX-компоненты | Базы данных | Конструктор форм | Электро | ТОЭ | Linux | Интегралы | Лекции физика | Windows 2003 | Архитектура ЭВМ | Рисунок | Световые волны | Операционные системы
Pascal | Эксперт | Учебник Java | Кодирование | Пефирия ПК | Информатика | Сети | Моделирование | Язык SQL Расчет надежности | Задачи