Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
     Теорема 15.2   (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы $ A$ равен рангу расширенной матрицы $ A^*$ .

        Доказательство.     Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ .

Пусть набор чисел $ {({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n)}$ является решением системы. Обозначим через $ a_i$ $ i$ -ый столбец матрицы $ A$ , $ {i=1,2,\dots,n}$ . Тогда $ {{\alpha}_1a_1+ {\alpha}_2a_2+\ldots+{\alpha}_na_n=b}$ , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . Пусть $ {r={\rm Rg}A}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ . Тогда по предложению 15.1 $ {{\rm Rg}A^*=r+1}$ . Выберем в $ A^*$ базисный минор $ M$ . Он имеет порядок $ {r+1}$ . Столбец $ b$ свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы $ A$ . Столбец свободных членов в миноре $ M$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) $ {M={\alpha}_1M_1+{\alpha}_2M_2+\ldots+{\alpha}_nM_n}$ , где $ M_i$  -- определитель, который получается из минора $ M$ заменой столбца свободных членов на столбец $ a_i$ . Если столбец $ a_i$ проходил через минор $ M$ , то в $ M_i$ , будет два одинаковых столбца и, следовательно, $ {M_i=0}$ . Если столбец $ a_i$ не проходил через минор $ M$ , то $ M_i$ будет отличаться от минора порядка $ {r+1}$ матрицы $ A$ только порядком столбцов. Так как $ {{\rm Rg}A=r}$ , то $ {M_i=0}$ . Таким образом, $ {M={\alpha}_1\cdot 0+{\alpha}_2\cdot 0+\ldots +{\alpha}_n\cdot 0=0}$ , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ , неверно.

2. Пусть $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ . Покажем, что система имеет решение. Так как $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ , то базисный минор $ M$ матрицы $ A$ является базисным минором матрицы $ A^*$ . Пусть через минор $ M$ проходят столбцы $ {a_{i_1},\,a_{i_2}, \dots,\,a_{i_r}}$ . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице $ A^*$ столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов: Исследовать функцию  и Математика решение задач построить ее график. Исследование функций.

$\displaystyle b={\alpha}_1a_{i_1}+{\alpha}_2a_{i_2}+\ldots+{\alpha}_ra_{i_r}.$(15.6)
 


Положим $ {x_{i_1}={\alpha}_1}$ , $ {x_{i_2}={\alpha}_2}$ , $ \dots$ , $ {x_{i_r}={\alpha}_r}$ , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ получим

$\displaystyle x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n={\alpha}_1x_{i_1}+{\alpha}_2x_{i_2}+\ldots+{\alpha}_r x_{i_r}.$ Интегралы вида , как известно, могут быть выражены через интегралы от рациональных алгебраических функций.

В силу равенства (15.6) $ {x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b}$ . Последнее равенство означает, что набор чисел $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ является решением системы. Существование решения доказано.     

В рассмотренной выше системе (15.4) $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=1}$ , и система является совместной. В системе (15.5) $ {{\rm Rg}A=1}$ ,$ {{\rm Rg}A^*=2}$ , и система является несовместной.

        Замечание 15.3   Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить $ {\rm Rg}A$ и $ {\rm Rg}A^*$ , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.         
 
 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)