Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Однородная система уравнений

        Предложение 15.2   Однородная система уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ ... ...\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$(15.7)

всегда является совместной.

        Доказательство.    Для этой системы набор чисел $ {x_1=0}$ , $ {x_2=0}$ , $ \dots$ , $ {x_n=0}$ является решением.     

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: $ {Ax=0}$ . Найдем Математика решение задач точки пересечения графика функции с осями координат Исследование функций.

        Предложение 15.3   Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

        Доказательство.     Пусть $ c$ и $ d$ служат решениями системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {Ac=0}$ и $ {Ad=0}$ . Пусть $ {g=c+d}$ . Тогда

$\displaystyle Ag=A(c+d)=Ac+Ad=0+0=0.$

Так как $ Ag=0$ , то $ g$  -- решение.

Пусть $ {\alpha}$  -- произвольное число, $ {h={\alpha}c}$ . Тогда

$\displaystyle Ah=A({\alpha}c)={\alpha}(Ac)={\alpha}\cdot 0=0.$

Так как $ Ah=0$ , то $ h$  -- решение.     

Интегралы 1-го типа всегда можно представить в виде , 

где   – многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами,  – также неопределенный коэффициент.


        Следствие 15.1   Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.    

        Определение 15.5   Будем говорить, что решения $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ системы $ {Ax=0}$ образуют фундаментальную систему решений, если столбцы $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.         
        Определение 15.6   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение
$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)},$
где $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$  -- произвольные числа, будем называть общим решением системы $ {Ax=0}$ .         

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".

        Теорема 15.3   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {{\rm Rg}A+k=n}$ , где $ n$  -- число неизвестных в системе.    

Доказательство читатель может найти, например, в [1].

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)