Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях


  Теорема 5.3 (Лагранжа)   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$ и непрерывна в точках $ a$ и $ b$. Тогда найдётся такая точка $ x_0\in(a;b)$, что

        Замечание 5.3   Формулу (5.1) можно записать в виде

Если считать, что аргументу $ a$ придано приращение $ {\Delta}x=b-a$, то функция получает приращение $ {\Delta}f=f(b)-f(a)$. (При этом мы не считаем, что $ {\Delta}x$ и $ {\Delta}f$ стремятся к 0, то есть это конечные, а не бесконечно малые, приращения.) При этих обозначениях формулу (5.2) мы можем записать в виде
$\displaystyle {\Delta}f=f'(x_0){\Delta}x,$
в котором участвуют конечные приращения аргумента и функции. Поэтому формулу (5.2) называют формулой конечных приращений.     
        Доказательство теоремы Лагранжа.     Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика $ y=f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ хордой. Конечные приращения $ {\Delta}x=b-a$ и $ {\Delta}f=f(b)-f(a)$ -- это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.
Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Отношение конечных приращений $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}x$ -- это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке $ x_0$ касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной $ {\alpha}$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=f'(x_0)$) будет равен углу наклона хорды $ {\beta}$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}$). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.
Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки $ (a;f(a))$ и $ (b;f(b))$ -- это график линейной функции $ \ell(x)$. Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$, то
$\displaystyle \ell(x)=f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
(мы учли то, что график линейной функции проходит через точку $ (a;f(a))$).
Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию $ g(x)=f(x)-\ell(x)$, то есть
$\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$
Заметим, что $ g(a)=f(a)-\ell(a)=0$ и $ g(b)=f(b)-\ell(b)=0$ (по построению функции $ \ell(x)$). Так как линейная функция $ \ell(x)$ дифференцируема при всех $ x\in\mathbb{R}$, то функция $ g(x)=f(x)-\ell(x)$ удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ g'(x_0)=0$.
Заметим теперь, что
$\displaystyle g'(x)=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)'=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
Значит, равенство $ g'(x_0)=0$ можно переписать в виде
$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
Таким образом, мы доказали формулу (5.1).     
Из теоремы Лагранжа вытекает утверждение, обратное к тому, что производная постоянной есть 0, а именно:
        Следствие 5.1   Пусть на интервале $ (a,b)$ функция $ f(x)$ имеет производную $ f'(x)$, тождественно равную 0: $ f'(x)=0\;\forall\;x\in(a;b)$. Тогда $ f(x)=\mathrm{const}$ на интервале $ (a;b)$.
        Доказательство.     Заметим для начала, что непрерывность функции $ f(x)$ в любой точке интервала $ (a;b)$ следует из дифференцируемости в этой точке. Значит, теорему Лагранжа можно применить к функции $ f(x)$ на любом отрезке $ [x_1;x_2]\sbs(a;b)$.
Возьмём любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$, такие что $ x_1<x_2$, и выпишем для функции $ f(x)$ на отрезке $ [x_1;x_2]$ формулу конечных приращений: $ f(x_2)-f(x_1)=f'(x_0)(x_2-x_1)$, при некотором $ x_0\in(x_1;x_2)$. Но в любой точке производная по предположению равна 0, в том числе $ f'(x_0)=0$. Отсюда $ f(x_2)-f(x_1)=0$, или $ f(x_2)=f(x_1)$. Обозначим это общее значение через $ c$. Выбирая произвольно точку $ x=x_2>x_1$, получим, что $ f(x)=c$ при всех $ x>x_1$; выбирая произвольно точку $ x=x_1<x_2$, -- что $ f(x)=c$ при всех $ x<x_2$. Но это означает, что $ f(x)=c$ при всех $ x\in(a;b)$.     
      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Платформу клиент-сервер | ActiveX-компоненты | Базы данных | Конструктор форм | Электро | ТОЭ | Linux | Интегралы | Лекции физика | Windows 2003 | Архитектура ЭВМ | Рисунок | Световые волны | Операционные системы
Pascal | Эксперт | Учебник Java | Кодирование | Пефирия ПК | Информатика | Сети | Моделирование | Язык SQL Расчет надежности | Задачи