Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие

Атомные станции
Реактор БН-800
ВВЭР-1000
РБМК-1000
Ледоколы
Подлодки
Флот
Гражданский суда
Ядерное оружие
Ядерная физика
Плавучие АЭС
Авиация

Высшая математика

1 семестр
2 семестр
3 семестр
Задачи
Интеграл
Курсовая
Контрольная
Практикум
Алгебра
Матанализ
Геометрия
Карта сайта

 

 

  Теорема 5.4 (Коши)   Пусть функции $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$ дифференцируемы на интервале $ ({\alpha};{\beta})$ и непрерывны при $ t={\alpha}$ и $ t={\beta}$, причём $ {\varphi}'(t)\ne0$ при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$. Тогда в интервале $ ({\alpha};{\beta})$ найдётся такая точка $ t_0$, что
$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$
        Доказательство.     Докажем сначала, что $ {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})\ne0$, то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:
$\displaystyle {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})={\varphi}'({\gamma})({\beta}-{\alpha}),$
  • при некотором $ {\gamma}\in({\alpha};{\beta})$. Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.
Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию
$\displaystyle \eta(t)=\psi(t)-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}
({\varphi}(t)-{\varphi}({\alpha})).$
Функция $ \eta(t)$, очевидно, является дифференцируемой при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$ и непрерывной в точках $ {\alpha}$ и $ {\beta}$, поскольку этими свойствами обладают функции $ {\varphi}$ и $ \psi$. Кроме того, очевидно, что при $ t={\alpha}$ получается $ \eta({\alpha})=0$. Покажем, что и $ \eta({\beta})=0$:
$\displaystyle \eta({\beta})=\psi({\beta})-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\...
...hi}({\alpha}))=
\psi({\beta})-\psi({\alpha})-(\psi({\beta})-\psi({\alpha}))=0.$
Значит, функция $ \eta(t)$ удовлетворяет на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка $ t_0\in({\alpha};{\beta})$, что $ \eta'(t_0)=0$.
Вычислим теперь производную функции $ \eta(t)$:
$\displaystyle \eta'(t)=\psi'(t)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}
{\varphi}'(t).$
Получаем, что
$\displaystyle 0=\eta'(t_0)=\psi'(t_0)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}
{\varphi}'(t_0),$
откуда получаем утверждение теоремы:

$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$

 

    
        Замечание 5.4   Можно считать функции $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ координатами движущейся на плоскости $ xOy$ точки, которая описывает линию $ L$, соединяющую начальную точку $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ с конечной точкой $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. (Тогда уравнения $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ параметрически задают некоторую зависимость $ y(x)$, графиком которой служит линия $ L$.)
Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение $ \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}$, как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ и $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$. Значит, дробь $ \dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}(t_0)}$ -- это угловой коэффициент касательной к линии $ L$ в некоторой точке $ ({\varphi}(t_0);\psi(t_0))\in L$. Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии $ L$ найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия $ L$ была задана явной зависимостью $ y=f(x)$, а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.     

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой