Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

  Теорема 5.4 (Коши)   Пусть функции $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$ дифференцируемы на интервале $ ({\alpha};{\beta})$ и непрерывны при $ t={\alpha}$ и $ t={\beta}$, причём $ {\varphi}'(t)\ne0$ при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$. Тогда в интервале $ ({\alpha};{\beta})$ найдётся такая точка $ t_0$, что
$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$
        Доказательство.     Докажем сначала, что $ {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})\ne0$, то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:
$\displaystyle {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})={\varphi}'({\gamma})({\beta}-{\alpha}),$
при некотором $ {\gamma}\in({\alpha};{\beta})$. Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.
Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию
$\displaystyle \eta(t)=\psi(t)-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} ({\varphi}(t)-{\varphi}({\alpha})).$
Функция $ \eta(t)$, очевидно, является дифференцируемой при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$ и непрерывной в точках $ {\alpha}$ и $ {\beta}$, поскольку этими свойствами обладают функции $ {\varphi}$ и $ \psi$. Кроме того, очевидно, что при $ t={\alpha}$ получается $ \eta({\alpha})=0$. Покажем, что и $ \eta({\beta})=0$:
$\displaystyle \eta({\beta})=\psi({\beta})-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\... ...hi}({\alpha}))= \psi({\beta})-\psi({\alpha})-(\psi({\beta})-\psi({\alpha}))=0.$ Вычислить Математика решение задач интеграл Интегральное исчисление функции одной переменной
Значит, функция $ \eta(t)$ удовлетворяет на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка $ t_0\in({\alpha};{\beta})$, что $ \eta'(t_0)=0$.
Вычислим теперь производную функции $ \eta(t)$:
$\displaystyle \eta'(t)=\psi'(t)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t).$
Получаем, что
$\displaystyle 0=\eta'(t_0)=\psi'(t_0)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t_0),$
откуда получаем утверждение теоремы:

$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$

Признак сравнения в предельной форме

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится.

 

    
        Замечание 5.4   Можно считать функции $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ координатами движущейся на плоскости $ xOy$ точки, которая описывает линию $ L$, соединяющую начальную точку $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ с конечной точкой $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. (Тогда уравнения $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ параметрически задают некоторую зависимость $ y(x)$, графиком которой служит линия $ L$.)
Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение $ \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}$, как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ и $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$. Значит, дробь $ \dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}(t_0)}$ -- это угловой коэффициент касательной к линии $ L$ в некоторой точке $ ({\varphi}(t_0);\psi(t_0))\in L$. Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии $ L$ найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия $ L$ была задана явной зависимостью $ y=f(x)$, а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.     

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)