Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.

        Теорема 5.5 (Правило Лопиталя)   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в некоторой окрестности $ E$ точки $ x_0$ и $ f(x_0)=g(x_0)=0$, то есть $ f(x)\to0$ и $ g(x)\to0$ при $ x\to x_0$. Предположим, что при $ x\in E,\;x\ne x_0$ функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$, причём существует предел отношения этих производных:
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$
Тогда предел отношения самих функций $ f(x)$ и $ g(x)$ тоже существует и равен тому же числу $ L$:
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

        Доказательство.     Заметим, что из условия $ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$ следует, что оба односторонних предела также равны $ L$: Математика решение задач Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  и ; Интегральное исчисление функции одной переменной

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$ и $\displaystyle \lim_{x\to x_0-}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$

Пусть $ x_1\in E$, $ x_1>x_0$. По теореме Коши, применённой к отрезку $ [x_0;x_1]$, получим тогда, с учётом того, что $ f(x_0)=0,\; g(x_0)=0$,

$\displaystyle \dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{g(x_1)-g(x_0)}= \dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)},$
Применяя сочетание методов подведения под знак дифференциала и разложения, интегралы вида   и  

где $ x^*\in(x_0;x_1)$. Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при $ x_1\to x_0+$:

$\displaystyle \lim_{x_1\to x_0+}\dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}= \lim_{x^*\to x_0+}\dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)}=L,$

так как, очевидно, при $ x_1\to x_0+$ имеем также $ x^*\to x_0+$. Теперь возьмём точку $ {x_2\in E}$, $ {x_2<x_0}$ и применим теорему Коши к отрезку $ [x_2;x_0]$. Получим

$\displaystyle \dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}=\dfrac{f(x_0)-f(x_2)}{g(x_0)-g(x_2)}= \dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})},$

где $ x^{**}\in(x_2;x_0)$. Переходя к пределу при $ x_2\to x_0-$ , получаем

$\displaystyle \lim_{x_2\to x_0-}\dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}= \lim_{x^{**}\to x_0-}\dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})}=L,$

так как при $ x_2\to x_0-$ имеем $ x^{**}\to x_0-$.

Итак, оба односторонних предела отношения $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$ равны $ L$. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

    

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)