Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


  Теорема 5.7 (Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших)   Пусть $ f(x)\to\infty$ и $ g(x)\to\infty$ при $ x\to x_0$ и в некоторой проколотой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$, существуют производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$. Тогда, если существует предел отношения этих производных
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L,$
то существует и предел отношения самих функций, равный тому же числу: Пусть функция  непрерывна на отрезке . Математика решение задач Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси   криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой:  Интегральное исчисление функции одной переменной
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

        Доказательство.     За полным доказательством этого утверждения мы отсылаем к книгам [Никольский С. М., Курс математического анализа. Том 1. -- М.: Наука, 1990. -- С. 200 - 201] или [Смирнов В. И., Курс высшей математики. Том 1. -- М.: Наука, 1974. -- С. 157 - 158]. Здесь же мы докажем, что оба предела совпадают, в предположении, что второй из них существует и оба не равны 0. Итак, пусть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=M,$

где $ M$ -- некоторое число. Докажем, что тогда $ M=L$. Метод интегрирования по частям Пример. Найти . Найти  .

Рассмотрим вспомогательные функции $ {f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{f(x)},&\mbox{ при }x\in E;\\ 0,&\mbox{ при }x=x_0, \end{array}\right.}$ и $ {g_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{g(x)},&\mbox{ при }x\in E;\\ 0,&\mbox{ при }x=x_0. \end{array}\right.}$

Тогда функции $ f_1(x)$ и $ g_1(x)$ -- бесконечно малые при $ x\to x_0$, непрерывные при $ x=x_0$; их производные таковы:

$\displaystyle f_1'(x)=-\dfrac{f'(x)}{(f(x))^2};\quad g_1'(x)=-\dfrac{g'(x)}{(g(x))^2}.$

Заметим теперь, что при $ x\in E$

$\displaystyle \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{g_1(x)}{f_1(x)}$(5.3)
 


и

$\displaystyle \dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'_1(x)(f(x))^2}{g'_1(x)(g(x))^2}= \dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)}\cdot\dfrac{1}{\left(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}\right)^2}.$(5.4)
 


Из равенства (5.3) получаем, что $ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=\dfrac{1}{M}$. Переходя к пределу в равенстве (5.4), получаем:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)}=\dfrac{L}{M^2}.$

С другой стороны, применяя правило Лопиталя ( теорема 5.5) к бесконечно малым функциям $ f_1(x)$ и $ g_1(x)$, получим:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)},$

откуда

$\displaystyle \dfrac{1}{M}=\dfrac{L}{M^2}.$

Из этого равенства следует, что $ M=L$, что и требовалось доказать.     

        Замечание 5.7   Немного изменив доказательство, мы получим, что правило Лопиталя для отношения двух бесконечно больших верно для односторонних пределов (при базах $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$); сделав замену $ z=\frac{1}{x}$, выведем, что оно верно для пределов при базах $ x\to\infty$, $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$ (аналогично тому, как теорема 5.6 была выведена из теоремы 5.5).     
        Замечание 5.8   Как и в основном случае отношения двух бесконечно малых при $ x\to x_0$, все остальные варианты правила Лопиталя не универсальны: если предел отношения производных не существует, то это ещё не означает, что нет предела отношения исходных величин.     

Приведём ещё один пример, иллюстрирующий это важное замечание.

        Пример 5.5   Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$. Предел их отношения, очевидно, существует:
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}= \lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x}\cdot\sin x)=1+0=1;$
в то же время отношение производных даёт
$\displaystyle \dfrac{(x+\sin x)'}{x'}=\dfrac{1+\cos x}{1}=1+\cos x,$
а эта функция не имеет никакого предела при $ x\to\infty$. Следовательно, для вычисления предела
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}$
правило Лопиталя неприменимо.     

Несмотря на свою неуниверсальность, правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее (например, с помощью замены на эквивалентные бесконечно малые).

        Пример 5.6   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$. (Это предел отношения двух бесконечно малых. Заметим, что $ \sin x$ не является множителем, так что его нельзя заменить на эквивалентную величину $ x$; если бы мы всё же сделали это, то сразу получили бы в числителе 0, и "ответ" равнялся бы 0.) Применим правило Лопиталя и получим, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2},$
в предположении, что последний предел существует. Этот последний предел можно найти, заметив, что $ \cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$ при $ x\to0$, и заменив числитель. Однако можно пойти и другим путём. Мы снова получили отношение двух бесконечно малых, к которому снова применим правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}= \lim\limits_{x\to0}\d... ...c{-\sin x}{6x}= -\frac{1}{6}\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6},$
поскольку $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (это первый замечательный предел).
Итак, обоснование результата таково:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\cos x-1)'}{(3x^2)'}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{-\sin x}{6x}= -\frac{1}{6},$
откуда по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=-\frac{1}{6},$
то есть
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}=-\frac{1}{6},$
откуда, в свою очередь, снова по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}.$
Как правило, при вычислениях эти рассуждения "обратного хода" не приводят в явной форме для экономии места, но, строго говоря, их всегда нужно иметь в виду, когда после цепочки переходов по правилу Лопиталя мы получаем какой-либо ответ к исходному примеру на вычисление предела.     

 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)