Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)


  Пример 15.2   Найдите общее решение системы уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_2+x_3-2x_4+4x_5+x_6=2,\\ 8x_2+4x_3-8x_4+13x_5+2x_6=14,\\ 6x_2+3x_3-6x_4+6x_5-x_6=18,\end{array}\right.$
где неизвестными являются $ x_1,\ldots,x_6$ .
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrrr}0&2&1&-2&4&1&2\\ 0&8&4&-8&13&2&14\\ 0&6&3&-6&6&-1&18\end{array}\right).$
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число $ {\left(-\dfrac82\right)=-4}$ , к третьей строке прибавим первую, умноженную на $ {\left(-\dfrac62\right)=-3}$ . В результате получим
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrrr}0&2&1&-2&4&1&2\\ 0&0&0&0&-3&-2&6\\ 0&0&0&0&-6&-4&12\end{array}\right).$
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на число $ {\left(-\dfrac{-6}{-3}\right)=-2}$ . Получим
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrrr}0&2&1&-2&4&1&2\\ 0&0&0&0&-3&-2&6\\ 0&0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$
Прямой ход метода Гаусса закончен. Выписываем по матрице $ A^*_2$ систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l} 2x_2+x_3-2x_4+4x_5+x_6&2,\\ -3x_5-2x_6&6.\end{array}\right.$
Переносим в правую часть неизвестные $ {x_1,\,x_3,\,x_4,\,x_6}$ (неизвестное $ x_1$ реально в ней присутствовать не будет, коэффициент перед ним равен нулю). Получаем
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l} 2x_2+4x_5&2-x_3+2x_4-x_6,\\ -3x_5&6+2x_6.\end{array} \right.$
Пусть $ {x_1=C_1}$ , $ {x_3=C_2}$ , $ {x_4=C_3}$ , $ {x_6=C_4}$ . Из уравнений находим:
$\displaystyle x_5=-2-\frac23C_4,$
$\displaystyle x_2=-2x_5+1-\frac12 C_2+C_3-\frac12C_4=4+\frac43C_4+1-\frac12C_2+C_3-\frac12 C_4=5-\frac12C_2+C_3+ \frac56C_4.$
Ответ: $ {x_1=C_1}$ , $ {x_2=5-\dfrac12C_2+C_3+\dfrac56C_4}$ , $ {x_3=C_2}$ , $ {x_4=C_3}$ , $ {x_5=-2-\dfrac23C_4}$ , $ {x_6=C_4}$ , где $ C_1$ , $ C_2$ , $ C_3$ , $ C_4$  -- произвольные числа.         
        Замечание 15.5   В процессе решения можно также установить, какие ранги у матриц $ A$ и $ A^*$ и где расположены их базисные миноры. В предыдущем примере $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=2}$ , базисный минор расположен в строках с номерами 1, 2, столбцах с номерами 2, 5.         
     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции