Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Сравнение бесконечно больших величин

 Пример 5.7   При $ {x\to+\infty}$ величины $ {f_1(x)=\sqrt{x}}$, $ {f_2(x)=x}$ , $ {f_3(x)=x^3}$, $ {f_4(x)=x^3+\sin x}$, $ {f_5(x)=3x^3+x^2+1}$, $ {f_6(x)=x^4+1}$ -- бесконечно большие. При этом $ {f_4(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_5(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_1(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{}}f_2(x)}$, $ {f_2(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_4(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{}}f_3(x)}$, $ f_1(x)$ имеет порядок $ \frac{1}{2}$ относительно $ f_2(x)$, $ f_3(x)$ имеет порядок 3 относительно $ f_2(x)$ и порядок 6 относительно $ f_1(x)$, $ f_6(x)$ имеет порядок 4 относительно $ f_2(x)$ и порядок $ \frac{4}{3}$ относительно $ f_3(x)$.
В качестве простого упражнения докажите упомянутые соотношения; легко увидеть между функциями $ f_i(x)$, $ i=1,\dots,6$ также много других соотношений.     
        Пример 5.8   При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=a^x$ ($ a>1$) и $ g(x)=x^b$ ($ b>0$). Покажем, что при всех таких $ a$ и $ b$ имеет место соотношение
$\displaystyle x^b\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to+\infty}}a^x,$
то есть любая степень $ g(x)=x^b$ имеет меньший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем растущая экспонента $ f(x)=a^x$.
Для этого рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}$. К этому пределу можно применить правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}= \lim\limits_{x\to+\in... ...-1}}{a^x\ln a}= \dfrac{b}{\ln a}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{b-1}}{a^x}.$
Если при этом $ b-1\leqslant 0$, то последний предел берётся от бесконечно малой и равен 0; если же $ b>1$, то правило Лопиталя можно применить ещё раз и, быть может, неоднократно. В конечном счёте получим
$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}= \dfrac{b}{\ln a}\cdot... ...s\cdot\dfrac{b-k+1}{\ln a}\cdot \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{b-k}}{a^x},$
где $ k=\lceil b\rceil$ (напомним, что через $ \lceil b\rceil$ обозначается ближайшее целое число, не меньшее $ b$). Поскольку $ k\geqslant b$, в числителе дроби стоит невозрастающая функция, а знаменатель стремится к $ +\infty$, так что предел равен 0, что и требовалось получить.     
        Упражнение 5.1   Докажите, что функция $ f(x)=e^{x^2}$ имеет при $ x\to+\infty$ больший порядок роста, чем $ e^{ax}$, при любом $ a>0$, и, тем более, чем любой многочлен $ {P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n.}$     
        Пример 5.9   При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=x^{{\varepsilon}}$ ( $ {\varepsilon}>0$) и $ g(x)=\log_ax$ ($ a>1$). Покажем, что при всех таких $ {\varepsilon}$ и $ a$ имеет место соотношение
$\displaystyle \log_ax\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to+\infty}}x^{{\varepsilon}},$
то есть логарифм имеет меньший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем любая положительная степень $ x^{{\varepsilon}}$.
Для доказательства вычислим предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\log_ax}{x^{{\varepsilon}}}.$ Поскольку это предел отношения двух бесконечно больших, можно применить правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log_ax}{x^{{\varepsilon}}}= \lim_{x\to... ... \dfrac{1}{{\varepsilon}\ln a}\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{{\varepsilon}}}=0.$
    
        Упражнение 5.2   Докажите, что $ x^{{\varepsilon}}$ при любом, как угодно малом $ {\varepsilon}>0$ имеет больший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем любая, сколь угодно большая степень логарифма $ (\log_ax)^N$, ($ a>1$, $ N>0$).     
        Упражнение 5.3   Докажите, что при $ x\to0+$ степенные функции $ x^{-a}$, $ a>0$, имеют тем больший порядок роста, чем больше значение $ a$.     
        Упражнение 5.4   Докажите, что $ x^{-{\varepsilon}}$ при любом, как угодно малом $ {\varepsilon}>0$ имеет больший порядок роста при $ x\to0+$, чем любая, сколь угодно большая степень логарифма $ (\log_ax)^N$, ($ a>1$, $ N>0$).     
        Упражнение 5.5   Выясните, какая из функций имеет больший порядок роста при $ x\to+\infty$:
а) $ e^{x^2}$ или $ x^x$?
б) $ e^{x^2}$ или $ x^{x^x}$?     
      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции