Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
  Пример 5.10   Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$ Эта функция непрерывна справа в точке $ x=0$. Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену $ z=\dfrac{1}{h}$ :
$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{h}-1... ...p{\rm th}\nolimits z-1}{\dfrac{1}{z}}= \lim_{z\to+\infty}\dfrac{-2z}{e^z+1}=0,$
поскольку, как мы выяснили выше, экспонента $ e^z$ растёт быстрее $ z$ при $ z\to+\infty$.
Во всех остальных точках $ x\ne0$ производная вычисляется с помощью правил дифференцирования: Функция задается различными Математика решение задач аналитическими выражениями для различных областей независимой переменной. Введение в математический анализ.
$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm th}\nolimits z)'_z \cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}... ...t(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot \dfrac{4}{(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}})^2}.$
При $ x\to0+$ это выражение имеет предел
$\displaystyle \lim_{x\to0+}f'(x)= \lim_{x\to0+}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cd... ...}{x}}+e^{-\frac{1}{x}})^2}= -4\lim_{z\to+\infty}\dfrac{z^2}{(e^z+e^{-z})^2}=0,$
поскольку степень в числителе дроби имеет меньший порядок роста, чем экспонента в знаменателе.

Таким образом, получили, что $ \lim\limits_{x\to0+}f'(x)=f'(0)$, то есть производная оказалась непрерывной справа в точке $ x=0$.

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 

 

Из того, что функция $ \mathop{\rm th}\nolimits $ -- нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции $ f(x)$, если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках $ x\in\mathbb{R}$, причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева.     
        Пример 5.11   Рассмотрим функцию
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$
При $ x\ne0$ её производная равна, как нетрудно подсчитать,
$\displaystyle f'(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3}.$
При $ x=0$ мы найдём производную, исходя из определения:
$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{e^{-\frac{1}{h^2}}}{h}= \lim_{z\to\infty}\dfrac{h}{e^{h^2}}=0$
(мы применили формулу $ f'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$, а затем сделали замену $ z=\dfrac{1}{h}$). Легко видеть, что предел производной также будет равен 0:
$\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)= \lim_{x\to0}e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3} =\lim_{z\to\infty}\dfrac{2z^3}{e^{z^2}}=0,$
так как $ e^{z^2}$ при $ z\to\infty$ растёт быстрее любой степени. Таким образом, $ f'(x)$ -- функция, непрерывная на всей числовой оси:
$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$
Аналогично можно убедиться, что
$\displaystyle f''(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\left(\df... ...t),& \mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0,\mbox{ ---} \end{array}\right.$
непрерывная на $ \mathbb{R}$ функция, и вообще, при любом номере $ n$ производная $ f^{(n)}(x)$ имеет вид
$\displaystyle f^{(n)}(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot P\le... ...ac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0, \end{array}\right.$
где $ P(z)$ -- некоторый многочлен переменного $ z=\dfrac{1}{x}$. Легко видеть, что эта функция непрерывна при $ x=0$.
Таким образом, мы получили важный пример функции, которая всюду имеет производные любого порядка, и при этом в точке 0 все эти производные равны 0, в то время как сама функция отлична от 0 при всех $ x\ne0$.     
        Упражнение 5.6   Рассмотрите функцию
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x}},&\mbox{ при }x>0;\\ 0,&\mbox{ при }x\leqslant 0. \end{array}\right.$
Покажите, что все её производные существуют при всех $ x\in\mathbb{R}$ и непрерывны; при этом $ f^{(n)}(0)=0$ для любого $ n=0,1,2\dots$.      

Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грамма скалярного произведения, ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом пространстве. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы, их свойства. Ортогональные матрицы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)