Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
    Пример 16.4   Множество $ \mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией "$ \propto$ " является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек $ {(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto\mathfrak{a}}$ , $ {(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto \mathfrak{b}}$ и т.д. Роль элемента $ \mathfrak{e}$ выполняет элемент $ \mathfrak{a}$ . Обратные элементы: $ {\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , $ {\tilde\mathfrak{b}=\mathfrak{b}}$ .         

Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу.

Во всех разобранных примерах операция "$ \propto$ " обладала свойством коммутативности: $ {\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b}=\mathfrak{b}\propto\mathfrak{a}}$ . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля.

Если мы рассмотрим множество $ \mathfrak{G}$ , состоящее из квадратных матриц порядка $ n$ с ненулевым определителем и в качестве операции "$ \propto$ " возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента $ \mathfrak{e}$ выполняет единичная матрица $ E$ , и для элемента $ \mathfrak{a}$ , являющегося матрицей $ A$ , элементом $ \tilde\mathfrak{a}$ служит матрица $ A^{-1}$ . В этой группе, как мы видели в разделе "Умножение матриц", операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными.

В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают "$ +$ ", элемент $ \mathfrak{e}$ называют нулем группы и обозначают "0", хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ называют противоположным элементу $ \mathfrak{a}$ и обозначают " $ -\mathfrak{a}$ ".

Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, $ \mathfrak{e}$ называют единицей группы, а элемент $ \tilde\mathfrak{a}$  -- обратным элементом к $ \mathfrak{a}$ и обозначают $ \mathfrak{a}^{-1}$ . Докажем, что Математика решение задач для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится.

Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент $ \mathfrak{e}$ только один, что для любого элемента $ \mathfrak{a}$ выполнено условие $ {\mathfrak{a}\mathfrak{e}= \mathfrak{e}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , что элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ для элемента $ \mathfrak{a}$ определяется однозначно и что $ {\tilde\mathfrak{a}\mathfrak{a}= \mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена.

Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и

 

Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грамма скалярного произведения, ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом пространстве. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы, их свойства. Ортогональные матрицы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)