Группы Алгебраические структурыпримеры

Пример 16.4 Множество $\mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией " $\propto$ " является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек ${(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto\mathfrak{a}}$ , ${(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto \mathfrak{b}}$ и т.д. Роль элемента $\mathfrak{e}$ выполняет элемент $\mathfrak{a}$ . Обратные элементы: ${\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , ${\tilde\mathfrak{b}=\mathfrak{b}}$ .

Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу.

Во всех разобранных примерах операция " $\propto$ " обладала свойством коммутативности: ${\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b}=\mathfrak{b}\propto\mathfrak{a}}$ . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля.

Если мы рассмотрим множество $\mathfrak{G}$ , состоящее из квадратных матриц порядка с ненулевым определителем и в качестве операции " $\propto$ " возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента $\mathfrak{e}$ выполняет единичная матрица , и для элемента $\mathfrak{a}$ , являющегося матрицей , элементом $\tilde\mathfrak{a}$ служит матрица $A^{-1}$ . В этой группе, как мы видели в разделе "Умножение матриц", операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными.

В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают " ", элемент $\mathfrak{e}$ называют нулем группы и обозначают "0", хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент $\tilde\mathfrak{a}$ называют противоположным элементу $\mathfrak{a}$ и обозначают " $-\mathfrak{a}$ ".

Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, $\mathfrak{e}$ называют единицей группы, а элемент $\tilde\mathfrak{a}$ -- обратным элементом к $\mathfrak{a}$ и обозначают $\mathfrak{a}^{-1}$ .

Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент $\mathfrak{e}$ только один, что для любого элемента $\mathfrak{a}$ выполнено условие ${\mathfrak{a}\mathfrak{e}= \mathfrak{e}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , что элемент $\tilde\mathfrak{a}$ для элемента $\mathfrak{a}$ определяется однозначно и что ${\tilde\mathfrak{a}\mathfrak{a}= \mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена.

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции

Кольца Группы Алгебраические структуры