Кольца Группы Алгебраические структуры

В этом разделе мы будем предполагать, что на множестве заданы две различные операции. Одну из них мы назовем "сложением" и будем обозначать знаком "+", а другую будем называть "умножением" и записывать в виде или .

        Определение 16.2   Непустое множество , на котором заданы две операции: сложение и умножение, будем называть кольцом, если выполнены следующие требования:

1. по отношению к операции сложения множество является абелевой группой;
2. для любых из выполнено (ассоциативность умножения);
3. для любых из выполнено , (дистрибутивность умножения);

        

Если умножение является коммутативной операцией, то кольцо называется коммутативным. Примерами коммутативных колец служат:

1. множество целых чисел;
2. множество вещественных чисел;
3. множество многочленов;
4. множество функций, непрерывных на отрезке .

Некоммутативным кольцом является множество квадратных матриц порядка с обычными операциями сложениия и умножения матриц.

Рассмотрим пример кольца, содержащего конечное число элементов.