Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде

\begin{multline} P(x)= a_n(x-x_0)^n+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+a_{n-2}(x-x_0)^{n-2}+\ldots+\\ +a_2(x-x_0)^2+a_1(x-x_0)+a_0 \end{multline}

при некоторых коэффициентах $ a_k$, пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора $ a_k$ по значениям производных данной функции в точке $ x_0$.

Учтём требование к значению многочлена: $ P(x_0)=f(x_0)$. Подставив в равенство (Тейлор 1) $ x=x_0$, получим, что $ P(x_0)=a_0$, так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым

$\displaystyle a_0=f(x_0).$

Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра . Интегральное исчисление функции нескольких переменной.

Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline} P'(x)= na_n(x-x_0)^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(x-x_0)^{n-2}+(n-2)a_{n-2}(x-x_0)^{n-3}+\\ +\ldots+2a_2(x-x_0)+a_1. \end{multline}

Подставив в равенство (Тейлор 2) значение $ x=x_0$, получим, что $ P'(x_0)=a_1$, так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда

$\displaystyle a_1=f'(x_0).$

Рассмотрим различные соотношения между суммарными, средними и маргинальными величинами, использующие понятие неопределенного интеграла. Пример. Найти общую сумму капитального имущества (в у.е.), если известна величина капитального блага в начальный момент времени , которая составляет 10 млрд. у.е. и темп новых инвестиций как функция времени  где t измеряется в годах.

Геометрические приложения определенного интеграла

 

Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: $ {P''(x_0)=f''(x_0)}$. Вторая производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline} P''(x)= n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}(x-x_0)^{n-3}+\\ +(n-2)(n-3)a_{n-2}(x-x_0)^{n-4}+\ldots+2a_2. \end{multline}

Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение $ x_0$, получим, что $ P''(x_0)=2a_2$, откуда

$\displaystyle a_2=\frac{1}{2}f''(x_0).$

Далее нетрудно сообразить, что получится $ P'''(x_0)=3\cdot2a_3=f'''(x_0)$, откуда

$\displaystyle a_3=\frac{1}{2\cdot3}f'''(x_0),$

и вообще,

$\displaystyle 84 a_k=\frac{1}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}f^{(k)}(x_0),$   
 


при $ k=3,4,\dots,n$. Учитывая, что $ 0!=1$, $ 1!=1$, $ 2!=2$, $ 3!=2\cdot3$, ..., последнюю формулу можно записать в виде

$\displaystyle 85 a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0),\; k=0,1,2,\dots,n.$   
 


Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ имеет вид

$\displaystyle P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$

 

Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грамма скалярного произведения, ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом пространстве. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы, их свойства. Ортогональные матрицы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)