Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Разность между функцией $ f(x)$ и её многочленом Тейлора называется $ n$-м остатком, или $ n$-м остаточным членом; обозначим этот остаток через $ R_n(x)$:

$\displaystyle R_n(x)=f(x)-P(x).$

Формула $ f(x)=P(x)+R_n(x)$, в более развёрнутой форме имеющая вид

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),$

называется формулой Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, а представление функции $ f(x)$ в таком виде -- её разложением по формуле Тейлора.

Если считать, что остаток $ R_n(x)$ мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула

$\displaystyle f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,$ Математика решение задач Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной графиками данных функций Кратные и криволинейные интегралы.

дающая возможность для приближённого нахождения значений функции $ f(x)$.

Выясним, в каком смысле можно понимать "малость" остатка $ R_n(x)$ в формуле Тейлора, чтобы этой приближённой формулой мы могли пользоваться осмысленно.

Задача . Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Пластинка  задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки. Дифференциальные уравнения

 

        Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)   Пусть $ R_n(x)$ -- остаток в формуле Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, и функция $ f(x)$ имеет непрерывную $ (n+1)$-ю производную. Тогда $ R_n(x)$ -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как $ (x-x_0)^{n+1}$, при $ x\to x_0$. (Остаточный член $ R_n(x)$, о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

        Доказательство.     Утверждение теоремы означает, что существует

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=L.$

При $ L\ne0$ остаток $ R_n(x)$ будет иметь тот же порядок малости, что $ (x-x_0)^{n+1}$, а при $ L=0$ -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-P(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}{(x-x_0)^{n+1}}.$   
 


Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём $ n$ раз:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}{(x-x_0)^{n+1}}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f'(x)-f'(x_0)-f''(x_0)(x-x_0)-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}}{(n+1)(x-x_0)^n}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f''(x)-f''(x_0)-f'''(x_0)(x-x_0)-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2}}{(n+1)n(x-x_0)^{n-1}}=$   
$\displaystyle =\ldots=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{(n+1)n(n-1)\ldots2(x-x_0)}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f^{(n+1)}(x)}{(n+1)n(n-1)\ldots2\cdot1}= \dfrac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)n(n-1)\ldots2\cdot1}=L.$   
 


Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению $ f^{(n+1)}(x)$ -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.     

Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от $ x_0$ значения $ P(x)$ будут отклоняться от $ f(x)$ не более чем на величину $ (n+1)$-го порядка малости относительно разности $ x-x_0$, что даёт нам уверенность в том, что замена $ f(x)$ на многочлен Тейлора $ P(x)$ будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения $ n$. Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка $ R_n(x)$. Этот пробел устраняет следующая теорема.

Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грамма скалярного произведения, ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом пространстве. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы, их свойства. Ортогональные матрицы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)