Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при $ x_0=0$.

1. Рассмотрим функцию $ f(x)=e^x$. Все её производные совпадают с ней: $ f^{(k)}(x)=e^x$, так что коэффициенты Тейлора в точке $ x_0=0$ равны

$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)=\frac{1}{k!}e^0=\frac{1}{k!},\; k=0,1,2,\dots,n.$

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

$\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x).$

2. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$. Её производные чередуются в таком порядке: Математика решение задач Геометрические приложения определенного интеграла Интегральное исчисление функции одной переменной

$\displaystyle f'(x)=\cos x,\; f''(x)=-\sin x,\; f'''(x)=-\cos x,\; f^{(4)}(x)=\sin x,$

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке $ x_0=0$ также возникает повторение:

$\displaystyle f(0)=0,\;f'(0)=\cos 0=1,\;f''(0)=-\sin 0=0,\;f'''(0)=-\cos 0=-1,\; f^{(4)}(0)=\sin 0=0$

и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами $ n=2k-1$ равны 1 при $ n=1,5,9,\dots$, то есть при $ k=1,3,5,\dots$, и $ -1$ при $ n=3,7,11,\dots$, то есть при $ k=2,4,6,\dots$. Таким образом, $ f^{(2k-1)}(0)=(-1)^{k-1}$ при всех $ k\in\mathbb{N}$ и коэффициенты Тейлора равны

$\displaystyle a_n=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ при }n=2k, k=0,1,2,\dots\... ...{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!},&\mbox{ при }n=2k-1, k=1,2,3,\dots. \end{array}\right. $

Задача. Вычислить интеграл с точностью до 0,001

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Получаем формулу Тейлора для синуса:

$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$

Заметим, что мы можем записать остаточный член $ R_{2k}(x)$ вместо $ R_{2k-1}(x)$ (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка $ 2k$, с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.

3. Для функции $ f(x)=\cos x$ производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке $ x_0=0$ имеют то же чередование:

$\displaystyle f(0)=\cos0=1,\;f'(0)=-\sin0=0,\;f''(0)=-\cos0=-1,\;f'''(0)=\sin0=0,$   
$\displaystyle f^{(4)}(0)=\cos0=1,\dots$   
 


Нетрудно видеть, что $ f^{(n)}(0)=0$ при $ n=2k-1$, $ k=1,2,3,\dots,$ и $ f^{(n)}(0)=(-1)^k$ при $ n=2k$, $ k=0,1,2,\dots$. Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее $ x^{2k+1}$ с нулевым коэффициентом.

Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грамма скалярного произведения, ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом пространстве. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы, их свойства. Ортогональные матрицы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)