Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Рис.17.4.Модуль и аргумент


Угол, образованный радиус-вектором числа $ z$ с осью $ Ox$ , называется аргументом числа $ z$ и обозначается $ \arg z$ . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного $ 2\pi$ . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до $ 2\pi$ или в диапазоне от $ -\pi$ до $ \pi$ . Кроме того у числа $ {z=0}$ аргумент не определен.

Вычислить с помощью Математика решение задач тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0, z=4-y2, x2=2y. Кратные и криволинейные интегралы.

На рис. 17.4 $ \arg z$ равен углу $ {\varphi}$ . Из того же рисунка очевидно, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac ba.$

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$   или$\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$(17.7)
Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, а действительными трансцендентными числами - остальные действительные числа. Класс всех рациональных чисел содержит корни всех линейных уравнений с рациональными коэффициентами и включает в себя все целые числа.


причем первая формула действует, если изображение числа $ z$ находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если $ {a=0}$ , то комплексное число изображается вектором на оси $ Oy$ и его аргумент равен $ \frac{\pi}2$ или $ \frac{3\pi}2$ .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть $ {z=a+bi}$ . Тогда $ {\ovl z=a-bi}$ ,

$\displaystyle z\ovl z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$

С учетом формулы (17.6) получим

$\displaystyle z\ovl z=\vert z\vert^2$

или

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{z\ovl z}.$
        Пример 17.4   Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: $ {z_1=-1+i}$ , $ {z_2=4}$ , $ {z_3=-\frac12-\frac{\sqrt3}2}i$ , $ {z_4=5i}$ , $ {z_5=-2-3i}$ .
Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:
$\displaystyle z_1=-1+1i,\quad z_2=4+0\cdot i,\quad z_3=-\frac12+\left(-\frac{\sqrt3}2\right)i,$
$\displaystyle z_4=0+5i,\quad z_5=-2+(-3)i.$
Тогда по формулам (17.6) и (17.7) находим:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2,\quad \arg z_1=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac1{-1}=\pi-\frac{\pi}4=\frac{3\pi}4;$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{4^2+0^2}=4,\quad \arg z_2=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac04=0;$
\begin{multline*} \vert z_3\vert=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sq... ...left(-\frac12\right)\right)=\\ =\pi+\frac{\pi}3=\frac{4\pi}3; \end{multline*}
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{0^2+5^2}=5,\quad \arg z_4=\frac{\pi}2;$
$\displaystyle \vert z_5\vert=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\quad \arg z_5=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-3}{-2}=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5.$
В последнем случае можно вычислить с помощью калькулятора $ {\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5}$ и записать $ {\arg z_5\approx 4.1244}$ .         

 

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)