Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

  Пример 17.5   Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$ .
Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$
$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$
$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$
$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$
$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$ Математика решение задач Вычислить . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .
$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$
        

Пусть $ {z_1=r_1(\cos{\varphi}_1+i\sin{\varphi}_1)}$ , $ {z_2=r_2(\cos{\varphi}_2+i\sin{\varphi}_2)}$ . Найдем произведение $ {z_1z_2}$ :

\begin{multline*} z_1z_2=r_1(\cos{\varphi}_1+i\sin{\varphi}_1)r_2(\cos{\varphi}... ...\varphi}_1\cos{\varphi}_2+\cos{\varphi}_1\sin{\varphi}_2)\big). \end{multline*}

Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому

$\displaystyle z_1z_2=r_1r_2\big(\cos({\varphi}_1+{\varphi}_2)+i\sin({\varphi}_1+{\varphi}_2)\big).$

Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа $ z_1z_2$ . Значит,

$\displaystyle \vert z_1z_2\vert=r_1r_2=\vert z_1\vert\vert z_2\vert,$
$\displaystyle \arg(z_1z_2)={\varphi}_1+{\varphi}_2=\arg z_1+\arg z_2,$

иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пределы функций нескольких переменных  Множества $\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$ Пределы функций нескольких переменных

Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ . Пределы функций нескольких переменных

Аналогично можно доказать, что

$\displaystyle \left\vert\frac{z_1}{z_2}\right\vert=\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert},\quad \arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2,$

иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.

Несложно проверить, что если $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ , то

$\displaystyle \ovl z=r\big(\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi})\big).$

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень $ n$ , где $ n$  -- натуральное число.

Пусть $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$

Далее находим

$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$

Продолжая умножения дальше, придем к формуле

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi}).$(17.9)
 


Эта формула называется формулой Муавра.

        Пример 17.6   Вычислите $ z^6$ , если $ {z=1-i}$ .
Решение. Находим тригонометрическую форму числа $ z$ :
$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=-\frac{\pi}4,\quad z... ...rt2\left(\cos \left(-\frac{\pi}4\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}4\right)\right).$
По формуле Муавра
$\displaystyle z^6=(\sqrt2)^6\left(\cos\left(-\frac{6\pi}4\right)+i\sin\left(- ... ...8\left(\cos\left(-\frac{3\pi}2\right)+i\sin\left(- \frac{3\pi}2\right)\right).$
Переходим к алгебраической форме, вычисляя косинус и синус: $ {z^6=8i}$ .
Ответ: $ z^6=8i$ .         

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)