Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пример 17.7 Пусть $ z=-1+i$ . Напишите показательную форму числа $ z$ .
Решение. Находим модуль и аргумент числа:
$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=\frac{3\pi}4.$
Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:
$\displaystyle z=\sqrt2e^{\frac{3\pi}4i}.$

Пример 17.8 Комплексное число записано в показательной форме
$\displaystyle z=2e^{\frac{\pi}6i}.$
Найдите его алгебраическую форму.
Решение. По формуле Эйлера
$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}6+i\sin\frac{\pi}6\right)=2\left(\frac{\sqrt3}2+ i\frac12\right)=\sqrt3+i.$

Вычислить объемы тел, Математика решение задач образованных вращением фигур, ось вращения .

Итак, алгебраическая форма числа: $ {z=\sqrt3+i}$ .

С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть $ {z=x+iy}$ . Тогда

$\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$

Например,

$\displaystyle e^{2+\frac{5\pi}6i}=e^2\left(\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\right)= -e^2\frac{\sqrt3}2+\frac{e^2}2i.$

Заменим в формуле Эйлера $ {\varphi}$ на $ -{\varphi}$ . Получим:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi}).$

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных

 

С учетом свойств тригонометрических функций имеем:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos{\varphi}-i\sin{\varphi}.$

Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:

$\displaystyle e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}=2\cos{\varphi}.$

Откуда

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}}2.$(17.11)


Аналогично, с помощью вычитания, можно получить формулу

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}-e^{-i{\varphi}}}{2i}.$(17.12)


С помощью формулы для косинуса вычислим, например, $ \cos(5i)$ :

$\displaystyle \cos(5i)=\frac{e^{i(5i)}+e^{-i(5i)}}2=\frac{e^{-5}+e^5}2 \approx 74.21.$

Таким образом, в комплексной области модуль косинуса может быть и больше 1. Более того, в комплексной области функции $ \cos z$ и $ \sin z$ , определяемые с помощью формул(17.11) и(17.12), являются неограниченными функциями. Действительно, из этих формул мы получаем:

$\displaystyle \cos{\varphi}=ch(i{\varphi}),\quad \sin{\varphi}=-i sh(i{\varphi})$ (17.13)

Так как гиперболические косинус и синус являются неограниченными функциями, то и тригонометрические функции косинус и синус являются неограниченными функциями (в комплексной области).

Отметим также, что формулы(17.13) объясняют, почему для гиперболических функций многие соотношения очень похожи на соотношения между тригонометрическими функциями, например, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента.

 

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)