Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция $ f(x)$ называется возрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если для любых двух точек $ x_1,x_2\in(a;b)$ из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$; убывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)>f(x_2)$; невозрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\geqslant f(x_2)$, и неубывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$.

Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций
Вычислить длины дуг кривых, заданных Математика решение задач параметрическими уравнениями

Очевидно, что функция $ f(x)$ возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция $ g(x)=-f(x)$; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Рис.7.16.Графики функций $ f(x)$ и $ g(x)=-f(x)$

 Вычислить двойной интеграл:  . По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.

Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла



        Теорема 7.2   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$ и $ {f'(x)>0}$ при всех $ x\in(a;b)$. Тогда $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$. Если же $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не убывает на $ (a;b)$.
Аналогично, если $ f'(x)<0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ убывает на $ (a;b)$, а если $ f'(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не возрастает на $ (a;b)$.

 

        Доказательство.     В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев $ f'(x)>0$ и $ f'(x)\geqslant 0$. Пусть $ f'(x)>0$ при всех $ x\in(a;b)$ и $ x_1,x_2\in(a;b)$, $ x_1<x_2$. Применим к отрезку $ [x_1;x_2]$ формулу конечных приращений:

 

$\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1),$

 

где $ c\in(a;b)$. В правой части $ f'(c)>0$ и $ x_2-x_1>0$, так что $ f(x_2)-f(x_1)>0$, откуда $ f(x_1)<f(x_2)$, что означает возрастание функции.

Точно так же, если $ f'(x)\geqslant 0$, то получаем $ f(x_2)-f(x_1)\geqslant 0$, откуда $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$, что означает неубывание функции.     

Имеет место и утверждение, "почти обратное" к предыдущей теореме:

        Теорема 7.3   Если дифференцируемая функция не убывает на интервале $ (a;b)$, то $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$; если же функция не возрастает на $ (a;b)$, то $ f'(x)\leqslant 0$ при $ x\in(a;b)$.

 

        Доказательство.     Фиксируем точку $ x_0\in(a;b)$ и рассмотрим предел, который равен производной:

 

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

 

При достаточно малых $ h>0$ точка $ x_0+h$ попадёт в интервал $ (a;b)$, при этом $ x_0+h>x_0$, откуда $ f(x_0+h)\geqslant f(x_0)$. Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем $ f'(x_0)\geqslant 0$, что и требовалось получить.

Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.     

Заметим, что усилить утверждение теоремы нельзя: из того, что функция $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$ не следует строгого неравенства $ f'(x)>0$ для производной. Действительно, в этом нас убеждает простой пример:

     

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)