Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

   Пример 7.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси $ \mathbb{R}$: из $ x_1<x_2$ следует, что $ x_1^3<x_2^3$. Однако неверно, что $ f'(x)>0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$: действительно, производная $ f'(x)=3x^2$ обращается в 0 при $ x=0$.     

 

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) -- это нестрогое неравенство $ f'(x)\geqslant 0$.

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции $ f(x)$, надо решить относительно $ x$ неравенство $ f'(x)>0$, а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство $ f'(x)<0$. Вычислить площади фигур, Математика решение задач ограниченных графиками функций.

        Пример 7.16   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\ln x$. Её производная такова:
$\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}= x(2\ln x+1).$
Интервал возрастания функции можно найти из неравенства
$\displaystyle x(2\ln x+1)>0.$
При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции $ x>0$, так что нужно решать неравенство $ 2\ln x+1>0$. Отсюда $ x>e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$. Таким образом, функция $ f(x)$ возрастает на интервале $ (\dfrac{1}{\sqrt{e}};+\infty)$. Нетрудно видеть, что при $ x\in(0;\dfrac{1}{\sqrt{e}})$ выполняется обратное неравенство $ f'(x)<0$, так что на этом интервале функция убывает.     

 

Для определения горизонтальных асимптот находим ,  и . Значит, горизонтальная асимптота одна (ось ). Сделайте подстановку  Определите новые пределы интегрирования

Рис.7.17.График функции $ f(x)=x^2\ln x$

Если два интервала возрастания функции $ f(x)$ примыкают друг к другу, то есть имеют вид $ (a;b)$ и $ (b;c)$, и функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ b$, то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на $ (a;c)$. То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Рис.7.18.Объединение двух смежных интервалов возрастания функции

        Пример 7.17   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3e^x$. Её производная имеет вид
$\displaystyle f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x).$
Решая неравенство $ f'(x)>0$, получаем: $ x\in(-3;0)\cup(0;+\infty)$; при $ x=0$ функция, очевидно, непрерывна, так что $ f(x)$ возрастает на объединённом интервале, то есть при $ x\in(-3;+\infty)$. Решение неравенства $ f'(x)<0$ даёт только один интервал $ (-\infty;-3)$; на нём функция убывает.     

Рис.7.19.График функции $ f(x)=x^3e^x$

Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику $ y=f(x)$ (равный производной) положителен, то угол наклона касательной -- острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной -- тупой, и тогда функция убывает.

Рис.7.20.Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции


Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)