Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
    Пример 17.10   Решите уравнение $ {(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .
Решение. Находим дискриминант:
$\displaystyle D=(1+3i)^2-4(1+i)(-8+6i)=48+14i.$
Решим уравнение $ y^2=D$ . Для этого находим $ \vert D\vert=50$ . Пусть $ {{\varphi}=\arg D}$ . Тогда $ {\cos{\varphi}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}}$ . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на $ (-1)$ . По формуле (17.15)
$\displaystyle \sqrt D=5\sqrt2\left(\cos\frac{{\varphi}}2+i\sin\frac{{\varphi}}2\right).$ Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками $ y=x^3$ и $ y=x^5$ Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
По формулам половинного аргумента с учетом того, что $ {0<{\varphi}<\frac{\pi}2}$ , получим
$\displaystyle \cos\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1+\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}2}= \frac7{5\sqrt2},$
$\displaystyle \sin\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1-\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}2}= \frac1{5\sqrt2}.$
Таким образом, $ {\sqrt D=7+i}$ . Найти Математика решение задач координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  Кратные и криволинейные интегралы.
По формулам (17.16)
$\displaystyle x_1=\frac{-1-3i+7+i}{2(1+i)}=\frac{3-i}{1+i}=1-2i,$   
$\displaystyle x_2=\frac{-1-3i-7-i}{2(1+i)}=\frac{-4-2i}{1+i}=-3+i.$   
 

Ответ: $ x_1=1-2i$ , $ x_2=-3+i$ .         

Оказывается, что в поле комплексных чисел корни всегда существуют не только у квадратного трехчлена, но и у любого многочлена.

        Теорема 17.1   Любой многочлен ненулевой степени с коэффициентами из поля комплексных чисел имеет в этом поле хотя бы один корень.    

Данная теорема по традиции называется основной теоремой алгебры. Доказательство ее достаточно сложное и поэтому здесь оно не приводится.

Интересно выяснить, сколько корней имеет многочлен степени $ n$ . Мы уже знаем, что если $ {n=1}$ , то корень один, если $ {n=2}$ , то, как учили в школе, корней два. Кроме того, мы уже выяснили, что многочлен $ {z^n+c}$ имеет ровно $ n$ различных корней, если $ {c\ne0}$ .

        Теорема 17.2   Для любого многочлена ненулевой степени в поле комплексных чисел справедливо разложение на множители:
$\displaystyle a_0+a_1z+\ldots+a_nz^n=a_n(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_n),\quad a_n\ne0.$(17.17)
 

    

Доказательство пропускаем. Читатель может найти его в [5].

Очевидно, что в указанном разложении числа $ z_1$ , $ z_2$ ,..., $ z_n$ являются корнями многочлена и других корней у него быть не может. Однако среди чисел $ {z_1,\,z_2,\ldots,\,z_n}$ могут быть и одинаковые. Поэтому корней может быть меньше, чем $ n$ . Число одинаковых скобок в разложении (17.17) называется кратностью соответствующего корня. Например, если

$\displaystyle a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4=a_4(z-i)^2(z+1-2i)(z+5),$

то $ i$  -- корень кратности 2, $ -1+2i$ и $ -5$  -- корни кратности 1 или, иначе, простые корни.

Из предыдущей теоремы легко получить теорему, дающую ответ на вопрос о числе корней многочлена.

        Теорема 17.3   В поле комплексных чисел любой многочлен ненулевой степени $ n$ имеет ровно $ n$ корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.     

По вопросу практического нахождения корней стоит отметить следующее. Для нахождения корней многочленов третьей и четвертой степеней существуют формулы, позволяющие выразить корни многочлена через его коэффициенты. Для многочлена третьей степени -- это формула Кардано. Нахождение корней многочлена четвертой степени сводится к нахождению корней многочлена третьей степени методом, принадлежащим Феррари. Для многочленов выше четвертой степени доказано, что их корни нельзя выразить через их коэффициенты с помощью радикалов.

Однако, даже для многочленов третьей и четвертой степени, как правило, корни находят без использования указанных выше формул, так как те дают очень громоздкие выражения. Обычно корни находят приближенно, с помощью различных вычислительных алгоритмов (см. главу 9).

 

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)