Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


     Пример 7.24   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; решая уравнение $ 4x^3-4x=0$, находим стационарные точки функции $ f(x)$: это $ x_1=-1;x_2=0;x_3=1$. Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем: $ {f''(x)=12x^2-4}$. Отсюда $ {f''(x_1)=f''(-1)=12-4=8>0}$, следовательно, в точке $ x_1=-1$ функция $ f(x)$ имеет локальный минимум; то же в точке $ x_3=1$, поскольку $ f''(1)$ также равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно $ f(\pm1)=1^4-2\cdot1^2=-1$.

В точке $ x_2=0$ получаем $ {f''(0)=12\cdot0^2-4=-4<0}$, поэтому в точке 0 функция $ f(x)$ имеет локальный максимум. Значение $ f(x)$ в этой точке равно 0.     Математика решение задач Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат. Кратные и криволинейные интегралы. 


Рис.7.26.Три локальных экстремума функции $ f(x)=x^4-2x^2$

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$ Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

 

Пусть линия на плоскости с полярными координатами $ (r;{\varphi})$ задана уравнением $ r=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ ($ a>0$ ). Вычисление длины плоской линии

        Замечание 7.5   В последней теореме ничего не говорится о том, что происходит в стационарной точке $ x_0$ в случае, когда $ f''(x_0)=0$. В этом случае в точке $ x_0$ может быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.     

        Пример 7.25   Функция $ f(x)=x^3$ имеет единственную стационарную точку $ {x_0=0}$. Вторая производная $ f''(x)=6x$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ не имеет экстремума в точке 0.     

Рис.7.27.Функция $ f(x)=x^3$ не имеет экстремума в стационарной точке 0


        Пример 7.26   Функция $ f(x)=x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Вторая производная $ f''(x)=12x^2$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ имеет в точке 0 минимум.     

Рис.7.28.Функция $ f(x)=x^4$ имеет минимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


        Пример 7.27   Функция $ f(x)=-x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Её вторая производная $ f''(x)=-12x^2$ принимает в стационарной точке значение 0, а сама функция $ f(x)$ имеет в этой точке максимум.     

Рис.7.29.Функция $ f(x)=-x^4$ имеет максимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


Для того, чтобы разобраться в поведении функции $ f(x)$ в такой стационарной точке $ x_0$, в которой $ f''(x_0)=0$, можно применить такую теорему:

        Теорема 7.8   Пусть функция $ f(x)$ имеет $ k$-ю производную в некоторой окрестности точки $ x_0$ и эта производная $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$. Предположим, что

$\displaystyle f'(x_0)=0,\;f''(x_0)=0,\;\dots,\;f^{(k-1)}(x_0)=0,\;f^{(k)}(x_0)\ne0.$

Тогда, если число $ k$ -- нечётное, то в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет локального экстремума; если же число $ k$ -- чётное, то при $ f^{(k)}(x_0)<0$ в точке $ x_0$ функция имеет локальный максимум, а при $ f^{(k)}(x_0)>0$ -- локальный минимум.

        Доказательство.     Для доказательства заметим, что если разложить $ f(x)$ по формуле Тейлора в точке $ x_0$ с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k$

(где $ x_{{\theta}}$ лежит между $ x$ и $ x_0$), поскольку слагаемые со степенями бинома $ x-x_0$, меньшими $ k$, имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)$ можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f=\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k.$

Поскольку $ f^{(k)}(x_0)\ne0$ и $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, то в некоторой окрестности точки $ x_0$ она сохраняет тот же знак, что у числа $ f^{(k)}(x_0)\ne0$, в частности, знак числа $ \dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}$ при $ x$, близких к $ x_0$, -- тот же, что у числа $ f^{(k)}(x_0)$.

Мы видим, что при нечётном $ k$ приращение $ {\Delta}f$ меняет знак при переходе через точку $ x_0$, поскольку меняет знак множитель $ (x-x_0)^k$ в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке $ x_0$ нет.

При чётном $ k$ этот множитель положителен при всех $ x\ne x_0$, следовательно, приращение $ {\Delta}f$ (при малых $ x-x_0\ne0$) имеет тот же знак, что и $ f^{(k)}(x_0)$: $ {\Delta}f<0$ при $ f^{(k)}(x_0)<0$ (неравенство $ {\Delta}f<0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального максимума) и $ {\Delta}f>0$ при $ f^{(k)}(x_0)>0$ (неравенство $ {\Delta}f>0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального минимума).     

        Замечание 7.6   Даже в этом усиленном виде ( теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которых все производные в некоторой точке $ x_0$ обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет стационарную точку $ x_0=0$, характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку $ f^{(k)}(0)=0$ при всех $ k\in\mathbb{N}$. Однако очевидно, что $ f(x)>0$ при всех $ x\ne0$, так что $ x_0=0$ -- точка минимума функции $ f(x)$.

Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной $ k$-го порядка в точке $ x_0$, даже если эта производная существует при всех $ x$. В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^4\left(2+\sin\frac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке $ x=0$. Производная этой функции существует при всех $ x$ и равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\left[4x\left(2+\sin\frac{1}{x... ...ac{1}{x}\right],&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.     

 
Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)