Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Аналитическая геометрия Выпуклость функции Примеры


 Пример 7.28   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Эта функция выпукла на любом интервале оси $ Ox$. Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики $ f(x)$ и $ \ell(x)$ на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что $ f(x)$ одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале $ (a,b)$, то $ a<0$ и $ b>0$, и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.     

Рис.7.31.Хорда лежит выше графика $ y=\vert x\vert$

        Пример 7.29   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$; её график -- парабола $ y=x^2$.
Рис.7.32.Функция $ f(x)=x^2$ -- выпуклая

Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале $ (a;b)$. Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:
$\displaystyle f(x_{{\alpha}})=({\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0)^2= {\alpha}^2x_1^2+2{\alpha}(1-{\alpha})x_1x_0+(1-{\alpha})^2x_0^2\leqslant$   
$\displaystyle \leqslant {\alpha}^2x_1^2+{\alpha}(1-{\alpha})(x_1^2+x_0^2)+(1-{\alpha})^2x_0^2= {\alpha}x_1^2+(1-{\alpha})x_0^2=\ell(x_{{\alpha}}).$   

Здесь мы использовали известное неравенство: $ 2x_1x_0\leqslant x_1^2+x_0^2$ при всех $ x_1,x_0\in\mathbb{R}$.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции