Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Пусть дана функция $ f(x)$. Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения $ \mathcal{D}(f)$. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений $ \mathcal{E}(f)$. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения $ \mathcal{E}(f)$ откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси $ Ox$), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента $ x$ к граничным точкам области определения $ \mathcal{D}(f)$, если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Поясним сказанное примером:

        Пример 7.36   Пусть $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{x^2},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $ Эта функция определена на всей числовой оси, однако 0 является точкой разрыва функции: при $ x\to0$ функция стремится к $ +\infty$. Значит, вертикальная прямая $ x=0$ служит вертикальной асимптотой функции, хотя функция и определена в точке $ x=0$.      Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

4). Если область определения $ \mathcal{D}(f)$ вклоючает в себя лучи вида $ (a;+\infty)$ или $ (-\infty;b)$, то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$ соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью $ Oy$ (если $ 0\in\mathcal{D}(f)$). Для этого нужно вычислить значение $ f(0)$. Найти также точки пересечения графика с осью $ Ox$, для чего найти корни уравнения $ {f(x)=0}$ (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение $ {f(x)=0}$ часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции $ f(x)$ (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной $ f'(x)$.

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$ Интегрирование тригонометрических функций

 

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$Интегралы от произведений синусов и косинусов

 

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной $ f''(x)$. Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Обсудим теперь подробнее некоторые из этих пунктов.

1). Область определения функции. В некоторых примерах область определения $ \mathcal{D}(f)$ задаётся в самом условии задачи, например: "Построить график функции, заданной при $ x\in\dots$". Однако часто функция задаётся некоторой формулой, выражающей $ f(x)$ как элементарную функцию, вроде:

$\displaystyle f(x)=\ln\vert\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})\vert.$
В таком случае принято считать, что областью определения служит максимально широкое множество значений $ x$, при которых правая часть формулы $ f(x)=\dots$ имеет смысл.

Из этого соглашения по умолчанию есть одно исключение. Если функция имеет вид $ f(x)=u(x)^{v(x)}$ или содержит выражения такого рода, то принято считать, что выражение $ u(x)$ должно быть положительно, если $ v(x)$ принимает значения любого знака, или $ u(x)$ неотрицательно, если $ v(x)$ положительно. При этом игнорируется тот факт, что выражение $ u(x)^{v(x)}$ может иметь смысл и при некоторых других (исключительных) значениях $ u(x)$ и $ v(x)$, например, когда $ u(x)<0$ и $ v(x)$ принимает целое значение.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)