Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

        Пример 7.39   Построим график функции .
1). Функция $ g(x)$ -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: $ \mathcal{D}(g)=\mathbb{R}$.
2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного $ x$, и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени $ x$. Для функции $ g(x)$ это не так, значит, $ g(x)$ не является ни чётной, ни нечётной функцией.
Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от $ x$; в нашем случае это не так, поэтому $ g(x)$ -- не периодическая функция. Разложить данную функциюМатематика решение задач в ряд Фурье Вычислим значения Математика решение задач интегралов-слагаемых по отдельности Продолжим функцию на отрезок нечетным образом
3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)
4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.
5). Пересечение с осью $ Oy$ найдём, вычислив значение $ g(x)$ при $ x=0$: имеем $ {g(0)=2\cdot0^3-3\cdot0^2+0+5=5}$. Для нахождения пересечений графика с осью $ Ox$ следует решить уравнение $ 2x^3-3x^2+x+5=0$. Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,
$\displaystyle g(-2)=-25; g(-1)=-1; g(0)=5; g(1)=5; g(2)=11,$
мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень $ x_0$, лежащий на интервале $ (-1;0)$, причём ближе к точке $ -1$, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что $ x_0\approx-0.919$. Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что $ x_0\in(-1;0)$.) Заметим, что $ g(x)$ меняет знак с $ -$ на $ +$ при переходе через точку $ x_0$.

Открытые и замкнутые области Матрица Гессе

Связные множества Пусть $ {\Omega}$  -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ .
6). Производная данной функции равна $ g'(x)=6x^2-6x+1$. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство $ 6x^2-6x+1>0$. Корни квадратного трёхчлена -- это $ \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.5\pm0.285$, значит, решением неравенства служит объединение интервалов $ (-\infty;\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6})\approx(-\infty;0.215)$ и $ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6};+\infty)\approx(0.785;+\infty)$. На каждом из этих интервалов функция $ g(x)$ возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством $ g'(x)<0$, то есть $ 6x^2-6x+1<0$. Его решением служит интервал $ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}) \approx(0.215;0.785)$. На этом интервале функция убывает.
В точке $ x_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.215$ возрастание функции сменяется убыванием, значит, $ x_1$ -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно
$\displaystyle g(x_1)=\frac{2\sqrt{3}}{9}+5\approx5.38.$
В точке $ x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.785$ убывание функции сменяется возрастанием, значит, $ x_2$ -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно
$\displaystyle g(x_2)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+4.5\approx4.12.$
Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от $ 5.38$ до $ 4.12$ и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.
7). Вторая производная функции равна $ g''(x)=12x-6$. Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство $ g''(x)>0$, то есть $ 12x-6>0$, откуда $ x>\frac{1}{2}$. Значит, функция выпукла на интервале $ (\frac{1}{2};+\infty)$. Обратное неравенство $ g''(x)<0$ даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это $ (-\infty;\frac{1}{2})$. В точке $ \frac{1}{2}$ направление выпуклости меняется, следовательно, $ \frac{1}{2}$ -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно $ g(\frac{1}{2})=5$.
8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции $ g(x)$.
Рис.7.46.График функции $ 2x^3-3x^2+x+5$

     

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)