Функции и их графики Второй способ задания функции: с помощью формулы


   Пример 1.15   Пусть $ y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots$. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что $ f(n)=n^2$ при любом $ n\in\mathbb{N}$. Эта формула не противоречит выписанным значениям $ f_1,f_2,f_3$ и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения $ f_1,f_2,f_3$, но, быть может, другие значения $ f_4=f(4),f_5=f(5),\dots$.     

        Упражнение 1.1   Придумайте другую формулу, дающую те же самые значения $ f_1,f_2,f_3$, но при всех прочих $ n$ ( $ n=4,5,6,\dots$) дающую значения, не равные $ n^2$.

Указание: попробуйте, например, отыскать эту формулу в виде $ f(n)=an^3+bn+c$, подобрав коэффициенты $ a,b,c$ так, чтобы формула была верна при $ n=1,2,3$. Получится система трёх линейных уравнений для трёх неизвестных $ a,b,c$, рещив которую, вы найдёте, что $ f(n)=\frac{1}{6}n^3+\frac{11}{6}n-1$.     

В некоторых случаях члены последовательности, то есть значения $ f_n=f(n)$ для $ n\in\mathbb{N}$, удобно не задавать при помощи указания явной зависимости $ f(n)$, а вычислять рекуррентно, то есть вычислять каждый последующий член по значениям нескольких предыдущих:

$\displaystyle f(n)=F(f(n-1),f(n-2),\dots).$

        Пример 1.16   Последовательность чисел Фибоначчи $ f_n$ задаётся так: два первых члена полагают равными единице ( $ f_1=1,f_2=1$), а при $ n\geqslant 3$ вычисляют $ f_n$ по формуле $ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$. Таким образом, $ f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8$ и т. д. 

        Упражнение 1.2   Подберите коэффициенты $ a$ и $ b$ в формуле

$\displaystyle f_n=a\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n+ b\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$(1.3)

так, чтобы при $ n=1$ и $ n=2$ число $ f_n$ было числом Фибоначчи. Докажите, что тогда формула (1.3) даёт значение $ f_n$, равное числу Фибоначчи и при всех $ n\geqslant 3$.

Пусть $ {\alpha}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (это один из корней уравнения $ x^2-x-1=0$, служащего характеристическим уравнением возвратной последовательности $ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$). Покажите, что

$\displaystyle f_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}({\alpha}^n-(-{\alpha})^{-n})$

при всех $ n\in\mathbb{N}$ (формула Бине); выведите из этой формулы, что $ f_n$ -- это ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{5}}{\alpha}^n$ целое число.    

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции