Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

        Упражнение 7.3   Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции
$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x+1)(x-2)}.$
Подсказка:
Рассмотрите точки $ x$, в которых знаменатель обращается в 0. Внимание: в одной из этих точек вертикальной асимптоты нет, так как функция имеет устранимый разрыв.
Решение:
Область определения составляют все точки оси $ Ox$, кроме 0, $ -1$ и 2:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$
Математика решение задач Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:  
Заметим теперь, что при $ x=-1$ числитель также обращается в 0:
$\displaystyle (-1)^3+2(-1)^2-1=-1+2-1=0.$
Значит, многочлен, стоящий в числителе, делится нацело на $ x-(-1)=x+1$. Деление столбиком даёт:
$\displaystyle x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1).$
Значит, при $ x\ne-1$ дробь $ f(x)$ можно сократить на $ x+1$:
$\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)(x^2+x-1)}{x(x+1)(x-2)}= \dfrac{x^2+x-1}{x(x-2)},$
откуда видно, что при $ x\to-1$ функция стремится к $ \dfrac{(-1)^2+(-1)-1}{(-1)(-1-2)}=-\dfrac{1}{3},$ а не к $ \infty$.
При $ x$, равном двум другим корням знаменателя, 0 и 2, числитель в 0 не обращается, а равен $ -1$ и $ 15$ соответственно. Значит, при $ x\to0$ и при $ x\to2$ $ f(x)\to\infty$, и прямые $ x=0$ и $ x=2$ -- вертикальные асимптоты.
Ответ:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty);$
Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$
Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ . Определение первообразной и её свойства
вертикальные асимптоты: $ x=0$ и $ x=2$.     
        Упражнение 7.4   Найдите вертикальные асимптоты графиков функций:
а) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1};$
б) $ f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^4-1}$;
в) $ f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^3-1}$.
Ответы: а) $ x=0$; б) $ x=1$; в) вертикальных асимптот нет.     
        Упражнение 7.5   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции
$\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$
Подсказка:
Воспользуйтесь общими формулами для $ k$ и $ b$ в уравнении асимптоты $ y=kx+b$. Пределы при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ здесь можно искать заодно.
Решение:
Найдём $ k$ и $ b$:
$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x(x+3)}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}= \dfrac{3-0+0}{1+0}=3;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}-3x]= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{(3x^2-2x+1)-3x(x+3)}{x+3}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11x+1}{x+3}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-11.$   
 

Итак, прямая $ y=3x-11$ служит наклонной асимптотой графика $ y=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$
Ответ: наклонная асимптота при $ x\to\pm\infty$ имеет уравнение $ y=3x-11$.     
      

Линейные пространства и операторы. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)