Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Упражнения и задачи

 
  Упражнение 7.11   Найдите стационарные точки функции $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$
и определите наличие в них локального экстремума.
Подсказка:
Стационарные точки задаются уравнением $ f'(x)=0$. Если вторая производная в стационарной точке положительна, то это точка локального минимума, а если отрицательна, то точка локального максимума.
Решение:
Найдём производную: $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$; стационарные точки задаются уравнением $ 4x(x^2-1)=0$, то есть это точки $ x=0$ и $ x=\pm1$. Вторая производная равна $ f''(x)=12x^2-4$. Её значение в стационарных точках: $ f''(0)=-4<0$; $ f''(\pm1)=8>0$. Следовательно, в точке $ x=0$ -- локальный максимум, а в точках $ x=1$ и $ x=-1$ -- локальный минимум.
Ответ:
Имеется три стационарные точки: $ -1$, 0 и 1; $ -1$ и 1 -- точки локального минимума, а 0 -- точка локального максимума.

Математика решение задач Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х

    
        Упражнение 7.12   Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума:
а) $ f(x)=x^3-4x+2$;
б) $ f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$;
в) $ f(x)=x^3\ln x$.
Ответы: а) $ -\frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального максимума; $ \frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального минимума;
б) $ -2-2\sqrt{2}$ -- точка локального максимума; $ -2+2\sqrt{2}$ -- точка локального минимума;
в) $ \dfrac{1}{\sqrt[3]{e}}$ -- точка локального минимума; точек локального максимума нет.     Примеры вычисления интегралов
        Упражнение 7.13   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции
$\displaystyle f(x)=-x^4+4x^2-3.$
Подсказка:
Интервалы выпуклости задаются неравенством $ f''(x)>0$, а интервалы вогнутости -- неравенством $ f''(x)<0$.
Решение:
Найдём вторую производную:
$\displaystyle f'(x)=-4x^3+8x; f''(x)=-12x^2+8=4(-3x^2+2).$
Неравенство $ -3x^2+2>0$ имеет решение $ x\in(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; на этом интервале функция выпукла. Неравенство $ -3x^2+2<0$ имеет решение $ x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; на этих двух интервалах функция вогнута.
В точках $ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ функция меняет направление выпуклости, так что эти точки являются точками перегиба.
Ответ:
Интервал выпуклости: $ (-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; интервалы вогнутости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})$ и $ (\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ \sqrt{\frac{2}{3}}$.     
        Упражнение 7.14   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:
а) $ f(x)=x^6-3x^4$;
б) $ f(x)=(x^2+1)e^x$;
в) $ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.
Ответы: а) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{6}{5}})$ и $ (\sqrt{\frac{6}{5}};+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{6}{5}}$ и $ \sqrt{\frac{6}{5}}$.
б) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-3)$ и $ (-1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-3;-1)$; точки перегиба: $ -3$ и $ -1$.
в) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-1)$ и $ (1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-1;-1)$; точек перегиба нет.     
        Упражнение 7.15   Проведите полное исследование функций и постройте их графики (в затруднительных случаях характерные точки можно находить приближённо):
а) $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$;
б) $ f(x)=x^2e^{-x^2}$;
в) $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.
Ответы: а) Функция нечётная;
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty);$
вертикальные асимптоты $ x=-\sqrt{3}$ и $ x=\sqrt{3}$, наклонная асимптота $ y=-x$. Точка локального максимума $ x=3$, при этом $ f_{\max}=-\dfrac{9}{2}$; точка локального минимума $ x=-3$, при этом $ f_{\min}=\dfrac{9}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.
Рис.7.52.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$

б) Функция чётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; горизонтальная асимптота $ y=0$. Точки локального максимума $ x=\pm1$; значение в этих точках $ f_{\max}=\dfrac{1}{e}$; точка локального минимума $ x=0$. Четыре точки перегиба: $ x=\pm\dfrac{\sqrt{5\pm\sqrt{17}}}{2}.$
Рис.7.53.График функции $ f(x)=x^2e^{-x^2}$

в) Функция нечётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; асимптоты $ y=x+\pi$ при $ x\to-\infty$ и $ y=x-\pi$ при $ x\to+\infty$. Точка локального максимума $ x=-1$, при этом $ f_{\max}=\dfrac{\pi}{2}-1$; точка локального минимума $ x=1$, при этом $ f_{\min}=1-\dfrac{\pi}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.
Рис.7.54.График функции $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$
      

Линейные пространства и операторы. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)