Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пусть в $ n$ -мерном линейном пространстве $ L$ выбран базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис $ {e_1',\,e_2',\ldots,\,e_n'}$ , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор $ a$ из $ L$ . Его координатный столбец в старом базисе обозначим $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , а в новом -- $ {{\alpha}'=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1'\\ {\alpha}_2'\\ \vdots\\ {\alpha}_n'\end{array}\right)}$ . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

\begin{displaymath}\begin{array}{c} e_1'={\sigma}_{11}e_1+{\sigma}_{21}e_2+\ldo... ...a}_{1n}e_1+{\sigma}_{2n}e_2+\ldots+{\sigma}_{nn}e_n.\end{array}\end{displaymath}

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Математика решение задач Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность.

$\displaystyle S=\left(\begin{array}{cccc} {\sigma}_{11}&{\sigma}_{12}&\ldots&{... ...sfor{4}\\ {\sigma}_{n1}&{\sigma}_{n2}&\ldots&{\sigma}_{nn}\end{array}\right).$

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

        Замечание 18.1   Матрица перехода всегда невырождена, то есть $ {\vert S\vert\ne0}$ .         
        Предложение 18.5   Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой
$\displaystyle {\alpha}=S{\alpha}',$(18.1)
Комплексные числа

где справа стоит произведение матрицы перехода $ S$ на матрицу-столбец.

        Доказательство.     Так как $ {\alpha}'$  -- координатный столбец вектора $ a$ в новом базисе, то

$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'e_j'.$

Заменив векторы $ e_j'$ их разложениями по старому базису, получим

$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'({\sigma}_{1j}e_1+{\sigma}_{2j}e_2+\ldot... ..._{i=1}^n{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n {\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i.$

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

$\displaystyle a=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n {\sigma}_{ij}{\alpha}_j'\right)e_i.$

Здесь мы получили разложение вектора $ a$ по старому базису, причем координата вектора с номером $ i$ равна $ \displaystyle \sum_{j=1}^n{\sigma}_{ij}{\alpha}_j'$ . Элемент с номером $ i$ столбца $ S{\alpha}'$ будет иметь такой же вид. Следовательно, формула  (18.1) доказана.     

Линейные пространства и операторы. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)