Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

        Определение 8.1   Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.
Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число
$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$
где $ {\Delta}{\alpha}={\alpha}(x)-{\alpha}(x_0)$ -- угол поворота касательной при переходе точки касания из $ M_0(x_0;f(x_0))$ в $ M(x;f(x))$ и $ {\Delta}l$ -- длина части линии $ L$ между точками $ M_0$ и $ M$.      Математика решение задач Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Смысл предела, определяющего кривизну, -- это скорость поворота касательной в точке $ M_0$, в расчёте на единицу длины дуги.

Рис.8.1.Поворот касательной при переходе из точки $ M_0$ в точку $ M$

Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$ Несобственные интегралы второго рода

 

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$ Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

        Теорема 8.1   Пусть в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x_0)$. Тогда кривизна линии $ L=\{y=f(x)\}$ при $ x=x_0$ равна
$\displaystyle k(x_0)=\dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

        Доказательство.     Пусть $ x=x_0+h$ -- точка, близкая к $ x_0$ (будем считать для наглядности, что $ h>0$). По геометрическому смыслу производной, $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}(x)=f'(x)$, откуда $ {\alpha}(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x)$. При малых $ h$ дуга $ M_0M$ весьма близка к хорде $ M_0M$, и интуитивно ясно, что для гладкой кривой $ L$ предел отношения длины дуги $ {\Delta}l$ к длине хорды $ \vert M_0M\vert$ равен 1, то есть эти две бесконечно малых при $ h\to0$ величины эквивалентны. Хорда имеет длину $ \vert M_0M\vert=\sqrt{({\Delta}x)^2+({\Delta}y)^2}$, где $ {\Delta}x=h$ и $ {\Delta}y=f(x)-f(x_0)$ -- приращения координат при переходе от точки $ M_0$ к точке $ M$. Рассмотрим предел $ \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}.$ Имеем, очевидно,

$\displaystyle \dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\dfrac{\sqrt{h^2+(f(x_0+h)-f(x_0))^2}}{h}= \sqrt{1+\left(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right)^2},$

откуда

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Поскольку $ {\Delta}l\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{h\to0}}\vert M_0M\vert$, то, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую, получаем, что

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}l}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Теперь преобразуем отношение $ \dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}$ к виду $ \dfrac{\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{h}}{\dfrac{{\Delta}l}{h}}$. Имеем тогда

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\... ...ght\vert= \left\vert\dfrac{{\alpha}'(x_0)}{\sqrt{1+(f'(x_0))^2}}\right\vert. $

Осталось вычислить производную, стоящую в числителе:

$\displaystyle {\alpha}'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x))'=\dfrac{f''(x)}{1+(f'(x))^2}.$

Это приводит нас к доказываемой формуле

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\dfrac{\dfrac{f''(x_0)}{1+(f'(x_0))^2}} {\sqrt{... ...))^2}}\right\vert= \dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

    

        Пример 8.1   Найдём кривизну параболы $ y=x^2$ при произвольном значении $ x$. Поскольку $ y'=2x$ и $ y''=2$, имеем
$\displaystyle k(x)=\dfrac{2}{(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}}.$
Заметим, что кривизна параболы убывает при росте $ \vert x\vert$ и принимает максимальное значение 2 при $ x=0$, то есть в вершине параболы.
Линейные пространства и операторы. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)