Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Кривизна графика функции Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Определение 8.1   Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.
Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число
$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$
где $ {\Delta}{\alpha}={\alpha}(x)-{\alpha}(x_0)$ -- угол поворота касательной при переходе точки касания из $ M_0(x_0;f(x_0))$ в $ M(x;f(x))$ и $ {\Delta}l$ -- длина части линии $ L$ между точками $ M_0$ и $ M$.     

Смысл предела, определяющего кривизну, -- это скорость поворота касательной в точке $ M_0$, в расчёте на единицу длины дуги.

Рис.8.1.Поворот касательной при переходе из точки $ M_0$ в точку $ M$

        Теорема 8.1   Пусть в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x_0)$. Тогда кривизна линии $ L=\{y=f(x)\}$ при $ x=x_0$ равна
$\displaystyle k(x_0)=\dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

        Доказательство.     Пусть $ x=x_0+h$ -- точка, близкая к $ x_0$ (будем считать для наглядности, что $ h>0$). По геометрическому смыслу производной, $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}(x)=f'(x)$, откуда $ {\alpha}(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x)$. При малых $ h$ дуга $ M_0M$ весьма близка к хорде $ M_0M$, и интуитивно ясно, что для гладкой кривой $ L$ предел отношения длины дуги $ {\Delta}l$ к длине хорды $ \vert M_0M\vert$ равен 1, то есть эти две бесконечно малых при $ h\to0$ величины эквивалентны. Хорда имеет длину $ \vert M_0M\vert=\sqrt{({\Delta}x)^2+({\Delta}y)^2}$, где $ {\Delta}x=h$ и $ {\Delta}y=f(x)-f(x_0)$ -- приращения координат при переходе от точки $ M_0$ к точке $ M$. Рассмотрим предел $ \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}.$ Имеем, очевидно,

$\displaystyle \dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\dfrac{\sqrt{h^2+(f(x_0+h)-f(x_0))^2}}{h}= \sqrt{1+\left(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right)^2},$

откуда

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Поскольку $ {\Delta}l\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{h\to0}}\vert M_0M\vert$, то, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую, получаем, что

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}l}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Теперь преобразуем отношение $ \dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}$ к виду $ \dfrac{\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{h}}{\dfrac{{\Delta}l}{h}}$. Имеем тогда

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\... ...ght\vert= \left\vert\dfrac{{\alpha}'(x_0)}{\sqrt{1+(f'(x_0))^2}}\right\vert. $

Осталось вычислить производную, стоящую в числителе:

$\displaystyle {\alpha}'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x))'=\dfrac{f''(x)}{1+(f'(x))^2}.$

Это приводит нас к доказываемой формуле

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\dfrac{\dfrac{f''(x_0)}{1+(f'(x_0))^2}} {\sqrt{... ...))^2}}\right\vert= \dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

    

        Пример 8.1   Найдём кривизну параболы $ y=x^2$ при произвольном значении $ x$. Поскольку $ y'=2x$ и $ y''=2$, имеем
$\displaystyle k(x)=\dfrac{2}{(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}}.$
Заметим, что кривизна параболы убывает при росте $ \vert x\vert$ и принимает максимальное значение 2 при $ x=0$, то есть в вершине параболы.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Платформу клиент-сервер | ActiveX-компоненты | Базы данных | Конструктор форм | Электро | ТОЭ | Linux | Интегралы | Лекции физика | Windows 2003 | Архитектура ЭВМ | Рисунок | Световые волны | Операционные системы
Pascal | Эксперт | Учебник Java | Кодирование | Пефирия ПК | Информатика | Сети | Моделирование | Язык SQL Расчет надежности | Задачи