Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Вспомним, как в обычном трехмерном пространстве мы вычисляли скалярное произведение векторов. Если координаты векторов

$\displaystyle {\bf a}=({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\,{\alpha}_3)$   и$\displaystyle \quad {\bf b}=({\beta}_1,\,{\beta}_2,\,{\beta}_3)$

были заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычислялось по формуле

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в $ n$ -мерном пространстве.

Пусть $ L$  -- вещественное $ n$ -мерное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда векторы $ a$ и $ b$ из $ L$ задаются своими координатами:

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad b={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$ Найти Математика решение задач дивергенцию и ротор векторного поля  где

Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно $ {(a,b)}$ , задается формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+\ldots+{\alpha}_n{\beta}_n.$(18.3)
 


В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в $ n$ -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в $ n$ -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3).

Если $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)}$  -- координатные столбцы векторов $ a$ и $ b$ , то скалярное произведение можно задать формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}^{\top}{\beta}.$

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)

Формула интегрирования по частям Найдём интеграл $ \int\ln x\,dx$ . Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$ Вычисление неопределенного интеграла

 

        Определение 18.5   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.         

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя $ {\vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\bf a}\cdot {\bf a}}}$ . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{(a,a)},$

то есть

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+\ldots+{\alpha}_n^2}.$

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в $ n$ -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

        Определение 18.6   Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.         
       
Линейные пространства и операторы. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)