Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Евклидово пространство Курс лекций

 

 Пример 18.5   Пусть $ a,\,b\in\mathbb{R}^4$ , их координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -1\\ -2 \end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}2\\ -2\\ -4\\ 1\end{array}\right)}$ . Проверьте, являются ли векторы ортогональными.
Решение. Находим скалярное произведение
$\displaystyle (a,b)=1\cdot2+2\cdot(-2)+(-1)(-4)+(-2)\cdot1=0.$
Следовательно, векторы ортогональны.         

Так как базисные векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеют координатные столбцы $ \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , ..., $ \left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right)$ , то несложно проверить, что в ортонормированном базисе $ {\vert e_1\vert=\vert e_2\vert=\ldots=\vert e_n\vert=1}$ , а $ {(e_i,e_j)=0}$ при $ {i\ne j}$ , то есть векторы базиса попарно ортогональны.

Если $ L$  -- комплексное линейное $ n$ -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1\ovl{{\beta}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\beta}}_2+\ldots+{\alpha}_n\ovl{{\beta}}_n,$

где черта над $ {{\beta}_1,\,{\beta}_2,\ldots,\,{\beta}_n}$ означает комплексное сопряжение.

        Определение 18.7   Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.         

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1\ovl{{\alpha}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\al... ...t{\vert{\alpha}_1\vert^2+\vert{\alpha}_2\vert^2+\ldots+\vert{\alpha}_n\vert^2}.$

 

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Платформу клиент-сервер | ActiveX-компоненты | Базы данных | Конструктор форм | Электро | ТОЭ | Linux | Интегралы | Лекции физика | Windows 2003 | Архитектура ЭВМ | Рисунок | Световые волны | Операционные системы
Pascal | Эксперт | Учебник Java | Кодирование | Пефирия ПК | Информатика | Сети | Моделирование | Язык SQL Расчет надежности | Задачи