Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


По аналогии с параболой мы можем дать такое определение:

        Определение 8.2   Назовём вершиной кривой $ y=f(x)$ любую точку этой кривой, в которой кривизна $ k(x)$ имеет локальный экстремум.     

В соответствии с этим определением вершина параболы $ y=x^2$ является вершиной линии $ y=x^2$ в новом, обобщённом, смысле. Математика решение задач Типовой расчет

        Пример 8.2   Рассмотрим окружность $ x^2+y^2=R^2$. Её верхняя половина (при $ {y\geqslant 0}$) -- это график функции $ y=\sqrt{R^2-x^2}$ на отрезке $ [-R;R]$. Возьмём точку $ {x\in(-R;R)}$ и найдём кривизну окружности при этом $ x$. Имеем:

$\displaystyle y'=-\dfrac{x}{(R^2-x^2)^{\frac{1}{2}}},$

$\displaystyle y''=-\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}},$

откуда

$\displaystyle k(x)=\dfrac{\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}} {\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}= \dfrac{R^2}{R^3}=\dfrac{1}{R}.$

Получаем, что кривизна окружности в любой её точке одинакова и обратна радиусу окружности
Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ Вычисление неопределенного интеграла

Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$Вычисление неопределенного интеграла

        Пример 8.3   Рассмотрим прямую $ y=kx+b$. Поскольку $ y''=0$, то кривизна прямой в любой точке равна 0. Как и у окружности, все точки прямой -- это её вершины.     

Заметим, что, по определению, кривизна неотрицательна, так что если она равна 0 в некоторой точке кривой $ y=f(x)$, то эта точка является вершиной кривой. Поскольку $ k(x)=\dfrac{\vert f''(x)\vert}{(1+(f'(x))^2)^{\frac{3}{2}}},$ это может случиться лишь при $ f''(x)=0$, в частности, во всех точках перегиба функции $ f(x)$ (тех, где вторая производная существует).

        Пример 8.4   Рассмотрим параболу четвёртой степени $ y=x^4$. Поскольку вторая производная $ y''=12x^2$ обращается в 0 при $ x=0$, то точка $ O(0;0)$ служит одной из вершин этой параболы: в ней кривизна принимает минимальное значение 0.     

Рис.8.2.Парабола $ y=x^4$ имеет три вершины


        Упражнение 8.1   Найдите оставшиеся две вершины параболы четвёртой степени, в которых кривизна принимает максимальное значение.

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.     

Линейные пространства и операторы. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)