Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
  Пример 8.5   Рассмотрим гиперболу $ y=\dfrac{a}{x}$ ($ a>0$). Поскольку $ y'=-\dfrac{a}{x^2}$ и $ y''=\dfrac{2a}{x^3}$, имеем
$\displaystyle k(x)= \left\vert\dfrac{\dfrac{2a}{x^3}}{\left(1+\dfrac{a^2}{x^4}... ...\frac{3}{2}}} \right\vert= \dfrac{2a\vert x\vert^3}{(x^4+a^2)^{\frac{3}{2}}}.$
    
        Пример 8.6   Найдём точку локального максимума кривизны гиперболы и покажем, что вершина гиперболы как кривой совпадает с её вершиной, понимаемой как пересечение гиперболы с её осью симметрии $ y=x$.
Рассмотрим часть гиперболы, лежащую при $ x>0$ (вторая половина -- симметрична рассматриваемой). Поскольку $ z=t^{\frac{2}{3}}$ -- возрастающая при $ t\geqslant 0$ функция, точки экстремума функций $ k(x)$ и
$\displaystyle f(x)=(k(x))^{\frac{2}{3}}=(2a)^{\frac{2}{3}}\dfrac{x^2}{x^4+a^2}$ Математика решение задач Вычислить производную
совпадают. Ввиду того, что функция $ t=x^2$ также возрастает при $ x\geqslant 0$, достаточно сделать замену $ x^2=t$ и перейти к нахождению экстремума функции
$\displaystyle g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2},$
график которой при $ t\geqslant 0$ имеет такой вид:
Рис.8.3.График функции $ g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2}$

Точка максимума $ t_0$ ищется из условия $ g'(t_0)=0$; легко подсчитать, что
$\displaystyle g'(t)=\dfrac{a^2-t^2}{(t^2+a^2)^2},$
откуда $ t_0=a$ и $ x_0=\sqrt{a}$ -- абсцисса вершины гиперболы как кривой $ y=\dfrac{a}{x}$.

Интеграл с переменным верхним пределом Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$ найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл

Теорема о неявной функции Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

С другой стороны, пересечение гиперболы с прямой $ y=x$ находим из уравнения
$\displaystyle \dfrac{a}{x}=x,$
откуда также получаем, что вершина гиперболы имеет абсциссу $ x_0=\sqrt{a}$.
Отметим, что кривизна гиперболы в её вершине равна
$\displaystyle k_{\max}=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.$
    

Рис.8.4.Гипербола и её две симметричных вершины

        Упражнение 8.2   Эллипс -- это кривая, которая в некоторой декартовой системе координат $ xOy$ на плоскости задаётся уравнением
$\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,$
где $ a$ и $ b$ -- положительные числа и $ a\ne b$.
Покажите, что четыре точки пересечения эллипса с осями координат являются его вершинами, причём в двух вершинах кривизна принимает наибольшее значение, а в двух других -- наименьшее. Для этого рассмотрите, как из данного уравнения выражаются зависимости $ y(x)$ и $ x(y)$.
Рис.8.5.Эллипс и его четыре вершины

Найдите значение кривизны в вершинах эллипса.     

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.     

Линейные пространства и операторы. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)