Обзор некоторых элементарных функций Функции и их графики


Степенная функция. Это функция вида $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Рассматриваются такие случаи:

а). Если $ {\alpha}\in\mathbb{N}$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$; если число $ {\alpha}$ -- чётное, то и функция $ f$ -- чётная (то есть $ f(-x)=f(x)$ при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$); если число $ {\alpha}$ -- нечётное, то и функция $ f$ -- нечётная (то есть $ f(-x)=-f(x)$ при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$).

Рис.1.11.График степенной функции при $ {\alpha}=1,2,3,4$


б). Если $ {\alpha}\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}\leqslant 0$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для $ {\alpha}>0$: если $ {\alpha}$ -- чётное число, то и $ f(x)=\dfrac{1}{x^{-{\alpha}}}$ -- чётная функция; если $ {\alpha}$ -- нечётное число, то и $ f(x)$ -- нечётная функция.

Рис.1.12.График степенной функции при $ {\alpha}=0,-1,-2,-3$


Снова заметим, что $ f(1)=1$ при всех $ {\alpha}$. Если $ {\alpha}=0$, то $ {f(x)=x^0=1}$ при всех $ x$, кроме $ x=0$ (выражение $ 0^0$ не имеет смысла).

в). Если $ {\alpha}$ -- не целое число, то, по определению, при $ {\alpha}>0$: $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\geqslant 0\}$; тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$.

Рис.1.13.График степенной функции при $ {\alpha}>0$


При $ {\alpha}<0$, по определению, $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$; тогда $ f(1)=1$.

Рис.1.14.График степенной функции при $ {\alpha}<0$



Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции