Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

        Определение 10.25   Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное $ \vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b.        
        Замечание 10.4   Если один из векторов нулевой, то угол $ {\varphi}$ не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.        

Скалярное произведение обозначается $ {\bf a}\cdot{\bf b}$ , или $ {\bf a}{\bf b}$ , или $ ({\bf a},{\bf b})$ . Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается $ {\bf a}^2$ . Скалярное произведение обладает следующими свойствами, которые мы сформулируем в виде теоремы.

        Теорема 10.2   Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения: Вычислить криволинейный интеграл Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
1) $ {\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf a}$ , свойство коммутативности;
2)$ {\bf a}({\bf b}+{\bf c})={\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}$ , свойство дистрибутивности;
3) $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\lambda}({\bf a}{\bf b})$ ;
4)$ {\bf a}^2>0$ при $ {\bf a}\ne0$ ;
5)$ {\bf a}^2=\vert{\bf a}\vert^2$ ;
6) Если $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b, то $ \cos{\varphi}=\dfrac{{\bf a}{\bf b}} {\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert}$ ;
7) $ {\bf a}{\bf b}=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ , если $ {\bf a}\ne0$ ;
8) $ {\bf a}{\bf b}=0$ тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны. Элементы теории поля Математика лекции примеры решения задач

        Доказательство.    Свойства 1,4,5,6 очевидным образом следуют из определения скалярного произведения. Свойство 8 получим, если вспомним, что нулевой вектор считается ортогональным любому вектору. Свойство 7 получим из определения скалярного произведения, использовав  предложение 10.13, в силу которого $ { Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}}$ .

Докажем свойство 2. В силу свойства 7, при $ {\bf a}\ne0$ , имеем $ {{\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}({\bf b}+{\bf c})}$ . По  предложению 10.14 $ { Пр_{{\bf a}} ({\bf b}+{\bf c})=Пр_{{\bf a}}{\bf b}+ Пр_{{\bf a}}{\bf c}}$ . Поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert\left( Пр_{{\bf a}}{\b... ...}{\bf b}+\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf c}= {\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}.$

Если $ {\bf a}=0$ , то свойство 2 очевидно.

Докажем свойство 3. При $ {\bf b}=0$ свойство очевидно. Пусть $ {\bf b}\ne0$ . Тогда

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\bf b}({\lambda}{\bf a})=\vert{\bf b}\vert Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a}).$

В силу  предложения 10.15 $ { Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a})={\lambda}Пр_{{\bf b}}{\bf a}}$ . Поэтому

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}=\vert{\bf b}\vert{\lambda}Пр_{{\bf b}}{... ..._{{\bf b}}{\bf a}\right)= {\lambda}({\bf b}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}).$

Итак, все свойства доказаны.    

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

 

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)