Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
        Теорема 10.3   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$ Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности  : Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

        Доказательство.    По условию $ {\bf a}={\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}$ , $ {\bf b}={\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+ {\beta}_3{\bf k}$ . В силу свойств 1 - 3 ( теорема 10.2) скалярного произведения получим

 

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\bf a}({\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+{\beta}_3{\bf k})={\beta}_1{\bf a}{\bf i}+{\beta}_2{\bf a}{\bf j}+{\beta}_3{\bf a}{\bf k}.$(10.2)


 

Используя те же свойства, находим $ {\bf a}{\bf i}=({\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}){\bf i}= {\alpha}_1{\bf i}^2+{\alpha}_2{\bf j}{\bf i}+{\alpha}_3{\bf k}{\bf i}$ . В силу свойства 5, находим $ {{\bf i}^2=1}$ , а по свойству 8 получим $ {\bf j}{\bf i}={\bf k}{\bf i}=0$ . Таким образом, $ {{\bf a}{\bf i}={\alpha}_1}$ . Аналогично находим, что $ {\bf a}{\bf j}={\alpha}_2$ , $ {\bf a}{\bf k}={\alpha}_3$ . Подставив полученные результаты в формулу (10.2), получим требуемую формулу (10.1).    

Так как $ {\vert{\bf a}\vert^2={\bf a}^2}$ , то из  теоремы 10.3 вытекает, что если $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , то

Криволинейные интегралы Математика лекции примеры решения задач

$\displaystyle \vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+{\alpha}_3^2}$(10.3)


 

Пусть в пространстве заданы точки $ A(x_1,y_1,z_1)$ и $ B(x_2,y_2,z_2)$ . Тогда $ {\overrightarrow {AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)}$ . Длина отрезка $ AB$ , то есть расстояние между точками $ A$ и $ B$ , будет равна $ \vert\overrightarrow {AB}\vert$ , и по формуле (10.3) получим

 

$\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$(10.4)


 

Читатель без труда перенесет полученные результаты этого раздела на случай двумерного векторного пространства. Формулы (10.1), (10.3), (10.4) останутся справедливыми, только из них нужно исключить третью координату.

Разберем два примера на использование скалярного произведения.

Задача. Даны вершины треугольника: $ A(2;-1;3)$ , $ B(1;1;1)$ , $ C(0;0;5)$ . Найдите длину стороны $ AB$ и $ \angle ABC$ .

Решение. $ \overrightarrow {BA}=(1;-2;2)$ , $ \overrightarrow {BC}=(-1;-1;4)$ , $ AB=\vert\overrightarrow {AB}\vert= \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$ .
$ \cos\angle ABC=\dfrac{\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}}{\bigl\vert\overrightarrow {BA}\bigr\vert \cdot\bigl\vert\overrightarrow {BC}\bigr\vert}$ , $ \quad \overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=1\cdot(-1)+(-2)(-1)+2\cdot 4=9$ ,
$ \vert\overrightarrow {BC}\vert=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt 2$ , $ \quad \cos\angle ABC=\frac 1{\sqrt 2}$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .

Ответ: $ AB=3$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .    

Задача. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $ {\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и $ {\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $ 60^{\circ}$ .

Решение. В этой задаче не заданы координаты векторов в ортонормированном базисе $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$ . Поэтому воспользоваться формулами  (10.1), (10.3) так просто не получится.

Сделав схематический рисунок (рис. 10.24),




Рис.10.24.


убеждаемся, что вектор $ {\bf d}_1$ , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле $ {{\bf d}_1={\bf a}+{\bf b}}$ , а другой -- $ {{\bf d}_2={\bf a}-{\bf b}}$ . Отсюда $ {{\bf d}_1=3{\bf m}-{\bf n}}$ и $ {{\bf d}_2={\bf m}+3{\bf n}}$ . В силу свойства 5 ( теорема 10.3) скалярного произведения получим

 

$\displaystyle \vert{\bf d}_1\vert^2= {\bf d}_1^2=(3{\bf m}-{\bf n})(3{\bf m}-{\bf n})=9{\bf m}^2-3{\bf m}{\bf n}-3{\bf m}{\bf n}+{\bf n}^2=$

 

 

$\displaystyle=9\vert{\bf m}\vert^2-6{\bf m}{\bf n}+ \vert{\bf n}\vert^2=9-6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+1=7.$

 

Аналогично, $ {\bf d}_2=({\bf m}+3{\bf n})({\bf m}+3{\bf n})={\bf m}^2+6{\bf m}{\bf n}+9{\bf n}^2= 1+6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+9=13$ .

Ответ: 7 и 13.    

 

 

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)