Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Теорема 19.1 Собственными числами матрицы $ A$ являются корни уравнения
$\displaystyle \vert A-{\lambda}E\vert=0$
и только они.

Доказательство. Пусть столбец $ {\alpha}$ -- собственный вектор матрицы $ A$ с собственным числом $ {\lambda}$ . Тогда, по определению, $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ . Это равенство можно переписать в виде $ {A{\alpha}-{\lambda}{\alpha}=0}$ . Так как для единичной матрицы $ E$ выполнено $ {E{\alpha}={\alpha}}$ , то $ {A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}=0}$ . По свойству матричного умножения $ {(A-{\lambda}E){\alpha}=A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}}$ и предыдущее равенство принимает вид

Математика решение задач Математическая логика

$\displaystyle (A-{\lambda}E){\alpha}=0.$(19.4)


Тригонометрическая форма числа

Допустим, что определитель матрицы $ {A-{\lambda}E}$ отличен от нуля, $ {\vert A-{\lambda}E\vert \ne0}$ . Тогда у этой матрицы существует обратная $ {(A-{\lambda}E)^{-1}}$ . Из равенства(19.4) получим, что $ {{\alpha}=(A-{\lambda}E)^{-1}\cdot0=0}$ , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что $ {\vert A-{\lambda}E\vert \ne0}$ , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ .

Пусть $ {\lambda}$ -- корень уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ . Тогда базисный минор матрицы $ {A-{\lambda}E}$ не может совпадать с определителем матрицы и поэтому $ {{\rm Rg} (A-{\lambda}E)=r<n}$ , $ n$ -- порядок матрицы $ A$ . Уравнение(19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ , являющимися элементами матрицы-столбца $ {\alpha}$ . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно $ {n-r}$ , что больше нуля. Таким образом, система(19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу $ {\lambda}$ соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы $ A$ .

Определитель $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ является многочленом степени $ n$ от переменного $ {\lambda}$ , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

Определение 19.5 Матрица $ {A-{\lambda}E}$ называется характеристической матрицей матрицы $ A$ , многочлен $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ называется характеристическим многочленом матрицы $ A$ , уравнение $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ называется характеристическим уравнением матрицы $ A$ .
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006). 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. 3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980 (Лань, 2008) 4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007. 5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007. 6. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т.1 - Т.6. Издательство УРСС, 2002. 7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) М., Высшая школа, 1986 (Лань, 2008). 8. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 - 2004.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)