Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции

Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

2). График $y={\varphi}(x)$ расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, вне некоторого угла со сторонами, имеющими наклон более $\frac{\pi}{4}$ к горизонтали (то есть стороны угла -- прямые $y=f(x^*)\pm k(x-x^*)$ , где ):

Рис.9.7.График пересекает прямую под большим углом: варианты расположения

Если функция ${\varphi}(x)$ имеет производную ${\varphi}'(x)$ , то в этом случае при , близких к корню , выполнено неравенство $\vert{\varphi}'(x)\vert>1$ .

Рис.9.8.Числа $x_0,x_1,x_2,\dots$ расходятся в случае $\vert{\varphi}(x)\vert>1$ : два варианта

Каждая следующая итерация $x_{i+1}$ будет в этом случае расположена дальше от корня , чем предыдущая, . При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую "снизу вверх" или "сверху вниз" (см. рис.), последовательность $\{x_i\}$ монотонно удаляется от корня или же итерации удаляются от , оказываясь попеременно то справа, то слева от корня.
Ещё одно замечание: если не выполнено ни условие ${\vert{\varphi}'(x)\vert<1}$ , ни условие ${\vert{\varphi}'(x)\vert>1}$ , то итерации $x_1,x_2,x_3,\dots$ могут зацикливаться. На чертеже ниже приведён пример зацикливания, когда уравнение имеет вид .

Рис.9.9.Пример зацикливания итераций

Мы видим, что для сходимости итераций к корню, вообще говоря, не обязательно наличие производной у функции ${\varphi}(x)$ . Однако метод итераций гораздо удобнее формулировать в терминах, связанных со значениями производной. Именно так мы и сформулируем наши наблюдения в виде теоремы.