Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

В разделе "Матрица линейного преобразования" мы выяснили, что каждое линейное преобразование $ n$ -мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае. Правило Лопиталя Вычисление пределов функций с помощью правила Лопиталя примеры решения задач

        Теорема 19.2   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование $ n$ -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda}_1&0&\ldots&0\\ 0&{\lambda}_2&\ldots&0\\ \hdotsfor{4}\\ 0&0&\ldots&{\lambda}_n\end{array}\right)$(19.5)
 
Математика решение задач Теорема Вейерштрасса
тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующими собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2, \ldots,\,{\lambda}_n}$ .

        Доказательство.     Пусть преобразование $ \mathcal{A}$ имеет $ n$ линейно независимых собственных векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , соответствующих собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ . Так как векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования $ \mathcal{A}$ в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора $ {\mathcal{A}(e_1)}$ . Так как $ {e_1}$  -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)={\lambda}_1e_1={\lambda}_1e_1+0e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $ \left(\begin{array}{c}{\lambda}_1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Второй столбец матрицы $ A$ является координатным столбцом вектора $ {\mathcal{A} (e_2)}$ . Так как $ {e_2}$  -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)={\lambda}_2e_2=0e_1+{\lambda}_2e_2+\ldots+0e_n.$ Векторная алгебра

Координатный столбец этого вектора $ \left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda}_2\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования $ \mathcal{A}$ в базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеет вид  (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора $ e_1$ . Этот вектор имеет координатный столбец $ \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , его образ имеет координатный столбец

$\displaystyle A\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)= \le... ...}\right)={\lambda}_1\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right).$

Следовательно, $ {\lambda}_1$  -- собственное число преобразования $ \mathcal{A}$ , а $ e_1$  -- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор $ e_i$ является собственным вектором преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}_i$ .     

        Следствие 19.2   Если у матрицы $ A$ порядка $ n$ существует набор из $ n$ линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ , то матрица $ A$ подобна диагональной матрице с числами $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ на диагонали.
       
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006). 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. 3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980 (Лань, 2008) 4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007. 5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007. 6. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т.1 - Т.6. Издательство УРСС, 2002. 7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) М., Высшая школа, 1986 (Лань, 2008). 8. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 - 2004.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)