Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

 Теорема 19.3   Пусть собственные векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $ \mathcal{A}$ соответствуют собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.

        Доказательство.     Воспользуемся методом математической индукции по числу векторов. Если $ {k=1}$ , то утверждение теоремы следует из того, что собственный вектор -- ненулевой.

Пусть утверждение верно для системы векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ . Составим линейную комбинацию векторов $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ и приравняем ее к нулю

$\displaystyle \mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k=0.$(19.6)
 

Математика решение задач Правила дифференцирования

К обеим частям применим преобразование $ \mathcal{A}$

$\displaystyle \mathcal{A}(\mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k)=0.$

По определению линейного преобразования получим

$\displaystyle \mu_1\mathcal{A}(e_1)+\mu_2\mathcal{A}(e_2)+\ldots+\mu_k\mathcal{A}(e_k)=0.$

Так как $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$  -- собственные векторы, то

$\displaystyle \mu_1{\lambda}_1 e_1+\mu_2{\lambda}_2 e_2+\ldots+\mu_k{\lambda}_ke_k=0.$

Умножим равенство (19.6) на $ {\lambda}_k$ и вычтем из последнего равенства. Получим

$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k) e_1+\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k) e_2+\ldots+\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1} -{\lambda}_k)e_k=0.$ Применение интегралов

Так как по предположению индукции векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ линейно независимы, то

$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k)=\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k)=\ldots=\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k)=0.$

По условию $ {{\lambda}_1-{\lambda}_k\ne0,\;{\lambda}_2-{\lambda}_k\ne0,\ldots,\;{\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k\ne0}$ , следовательно, $ {\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_{k-1}=0}$ . Подставим эти значения в (19.6), получим $ {\mu_k=0}$ . Получили, что из равенства (19.6) следует $ {\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k=0}$ , то есть векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ линейно независимы.     

        Следствие 19.3   Если матрица $ A$ порядка $ n$ имеет $ n$ попарно различных собственных чисел, то она подобна диагональной матрице.

 

       
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006). 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. 3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980 (Лань, 2008) 4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007. 5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007. 6. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т.1 - Т.6. Издательство УРСС, 2002. 7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) М., Высшая школа, 1986 (Лань, 2008). 8. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 - 2004.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)