Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции

Метод хорд (метод линейной интерполяции) нахождение корней уравнения

Метод простых итераций во всех рассмотреннных вариантах использует для построения очередного приближения $x_{i+1}$ только информацию о функции в одной лишь точке ; при этом никак не используются предыдущие значения $x_{i-1}, x_{i-2},\dots\;.$ Однако эту предыдущую информацию также можно использовать при нахождении $x_{i+1}$ . В качестве примера такого метода мы приведём метод, основанный на нахождении $x_{i+1}$ по двум предыдущим приближениям и $x_{i-1}$ с помощью линейной интерполяции, называемый методом хорд.
Идея метода состоит в том, что по двум точкам $M_{i-1}(x_{i-1};f(x_{i-1}))$ и построить прямую $M_{i-1}M_i$ (то есть хорду, соединяющую две точки графика ) и взять в качестве следующего приближения $x_{i+1}$ абсциссу точки пересечения этой прямой с осью . Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям : $x_{i-1}$ и . (Линейной интерполяцией функции назовём такую линейную функцию $\ell(x)$ , значения которой совпадают со значениями в двух фиксированных точках, в данном случае -- в точках $x_{i-1}$ и .)
В зависимости от того, лежат ли точки $x_{i-1}$ и по разные стороны от корня или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:

Рис.9.14.Построение последовательного приближения по методу хорд: два случая
Заказать перевод

Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: $x_{i+1}={\varphi}(x_{i-1};x_i)$ . Найдём выражение для функции ${\varphi}$ .
Интерполяционную линейную функцию $\ell(x)$ будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению
$\displaystyle k_i=\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}},$
построенному для отрезка между $x_{i-1}$ и , график которой проходит через точку :
$\displaystyle \ell(x)=f(x_i)+\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}(x-x_i).$
Решая уравнение $\ell(x)=0$ , находим
$\displaystyle x_{i+1}=\dfrac{x_{i-1}f(x_i)-x_if(x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})}= x_i-\dfrac{f(x_i)}{\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}},$
то есть

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f(x_i)}{k_i}.$

(9.3)

Заметим, что величина может рассматриваться как разностное приближение для производной в точке . Тем самым полученная формула (9.3) -- это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона.
Вычисление по формуле (9.3) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле
$\displaystyle x_{i+1}=\dfrac{x_{i-1}f(x_i)-x_if(x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})},$
хотя эти две формулы математически тождественны, поскольку при использовании формулы (9.3) в случае вычислений с округлениями (например, на компьютере) достигается меньшая потеря значащих цифр.
Имеются две разновидности применения формулы (9.3).
Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (9.3) при $i=1,2,3,\dots$ , начиная с двух приближений и , взятых, по возможности, поближе к корню . При этом не предполагается, что лежит между и (и что значения функции в точках и имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между $x_{i-1}$ и на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой $x_{i+1}$ приближает истинное значение корня , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство $\vert x_{i+1}-x_i\vert<{\varepsilon}$ , где ${\varepsilon}$ -- желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным $\wt x=x_{i+1}$ .