Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
        Пример 9.8   Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд. Зададимся точностью $ {\varepsilon}=0.000001$ и возьмём в качестве начальных приближений $ x_0$ и $ x_1$ концы отрезка, на котором отделён корень: $ x_0=-2,x_1=-1$. Итерационная формула метода хорд при $ f(x)=x^3+2x^2+3x+5$ имеет вид
$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f(x_i)}{\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}... ...dfrac{(x_i^3+2x_i^2+3x_i+5)-(x_{i-1}^3+2x_{i-1}^2+3x_{i-1}+5)} {x_i-x_{i-1}}}.$   
Математика решение задач Интеграл Типовые задачи

По этой формуле последовательно получаем:
\begin{multline*} x_2=-1.75;x_3=-1.905660; x_4=-1.840182; x_5=-1.843603;\\ x_6=-1.843735; x_7=-1.843734; x_8=-1.843734. \end{multline*}
Седьмое приближение уже дало нам значение корня с нужной точностью; восьмая итерация понадобилась для того, чтобы убедиться: с заданной точностью значение перестало изменяться. Получаем, что $ \wt x=-1.843734$.     
        Упражнение 9.3   Проведите вычисления тем же методом, переставив местами начальные приближения $ x_0$ и $ x_1$, то есть взяв $ x_0=-1, x_1=-2$. Убедитесь, что получаются другие значения для $ x_3,x_4,\dots$ и что с точностью $ {\varepsilon}$ уже $ x_6$ равняется искомому корню. Векторная алгебра Найти каноническое уравнение    
        Пример 9.9   Проверим, что метод работает и в том случае, если $ x_0$ и $ x_1$ взяты по одну и ту же сторону от корня (то есть если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём всё для того же уравнения $ x_0=-1.5$ и $ x_1=-1$. Тогда
\begin{multline*} x_2=-2.090909; x_3=-1.700772; x_4=-1.823138; x_5=-1.845616;\\ x_6=-1.843711; x_7=-1.843734; x_8=-1.843734. \end{multline*}
Мы получили то же значение $ \wt x$, причём за то же число итераций. Может показаться, что было бы выгоднее расположить начальные приближения иначе, так чтобы $ x_1$ было ближе к корню, чем $ x_0$. Однако при этом получаем фактически ту же скорость сходимости, можно заметить лишь небольшое ускорение:
\begin{multline*} x_2=-2.090909; x_3=-1.791404; x_4=-1.836390; x_5=-1.843972;\\ x_6=-1.843733; x_7=-1.843734; x_8=-1.843734. \end{multline*}
Понадобились всё те же семь вычислений.     

Вторая разновидность применения формулы (9.3) называется методом ложного положения. Предположим, что корень $ x^*$ отделён на отрезке между $ x_0$ и $ x_1$, то есть значения $ f(x_0)$ и $ f(x_1)$ -- разных знаков. После вычисления $ x_{i+1}$ по формуле (9.3) на очередном, $ i$-м, этапе из двух отрезков: между $ x_{i-1}$ и $ x_{i+1}$ и между $ x_i$ и $ x_{i+1}$ -- выбирают тот, в концах которого функция $ f$ принимает значения разных знаков. Если это отрезок между $ x_{i-1}$ и $ x_{i+1}$, то производят перенумерацию предыдущих приближений, то есть полагают $ x_i$ равным $ x_{i-1}$, а затем повторяют вычисления по формуле (9.3). Этим достигается, что при любом $ i$ корень $ x^*$ располагается на отрезке между $ x_i$ и $ x_{i+1}$, так что при выполнении условия $ \vert x_{i+1}-x_i\vert<2{\varepsilon}$, где $ {\varepsilon}$ -- желаемая точность нахождения корня, вычисления можно прекратить и взять приближённое значение корня равным $ \wt x=x_{i+1}$. При этом гарантируется, что будет выполнено неравенство $ \vert\wt x-x^*\vert<{\varepsilon}$, то есть корень будет определён с нужной точностью.

Такое усложнение алгоритма не даёт, на самом деле, сколько-нибудь заметного преимущества. Проиллюстрируем это на примере.

        Пример 9.10   В ситуации примера 9.8 применим метод ложного положения. Тогда последовательные приближения будут такими:
 

Как мы видим, отличаются от вычислений в примере 9.8 только приближения $ x_3,x_4,x_5,x_6$. (Заметим, что если бы в примере 9.8 мы взяли $ x_0=-1, x_1=-2$, см. упражнение 9.3, то вдобавок совпали бы значения $ x_3$.)     
\begin{multline*} x_2=-1.75; x_3=-1.835052; x_4=-1.842950; x_5=-1.843664;\\ x_6=-1.843728; x_7=-1.843734; x_8=-1.843734. \end{multline*}

 

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для вузов. М., Физматлит, 2007. 2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чурбанов И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М., Наука, 1987. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2000. 3. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2000. 4. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления БХВ-Петербург, 2004.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)