Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной

Пример 9.11 Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции $ f(x)=x^4-5x^3+6x-1$. Производная этой функции равна $ f'(x)=4x^3-15x^2+6$. Нетрудно видеть, вычислив, например, значения функции в точках $ -1,0,1,2,3,4$, что функция $ f'(x)$ имеет три корня $ x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}$, отделённых, соответственно, на отрезках $ [-1;0],[0;1],[3;4]$ (больше трёх корней многочлен третьей степени иметь не может). При переходе через каждый из этих корней производная меняет знак. Значит, функция $ f(x)$ имеет три локальных экстремума. Поскольку $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to\pm\infty$, то нетрудно сообразить, что в точках $ x^{(1)}$ и $ x^{(3)}$ функция будет иметь локальный минимум, а в точке $ x^{(2)}$-- локальный максимум. Один из двух локальных минимумов будет давать минимальное значение функции на всей оси $ Ox$.
Осталось найти точки $ x^{(1)},x^{(2)}$ и $ x^{(3)}$, вычислить в них значения функции и сравнить эти значения. Математика решение задач Поверхностный интеграл
первого рода
Точки $ x^{(k)}$ будем искать как корни уравнения $ f'(x)=0$, применяя метод Ньютона. Поскольку $ f''(x)=12x^2-30x$, то итерационная формула метода Ньютона для поиска любой из трёх точек $ x^{(k)}$ будет иметь вид
$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{4x_i^3-15x_i^2+6}{12x_i^2-30x_i}.$
Заметим, что поскольку $ f''(0)=0$, брать $ x_0=0$ в качестве начального приближения нельзя. Применение интегралов
Точка $ x^{(1)}$ отделена на отрезке $ [-1;0]$, значит, возьмём за начальное приближение $ x_0=-1$. Далее, применяя итерационную формулу, получаем (с точностью $ {\varepsilon}=0.000001$):
$\displaystyle x_1=-0.690476;x_2=-0.597112;x_3=-0.588112;x_4=-0.588030;x_5=-0.588030.$
Значит, $ x^{(1)}=-0.588030$; вычисление значения функции $ f(x)$ даёт локальный минимум $ f(x^{(1)})=-3.391974$.
Беря за начальное приближение $ x_0=1$, получаем последовательные приближения к $ x^{(2)}$:
$\displaystyle x_1=0.722222;x_2=0.701634;x_3=0.701454;x_4=0.701454.$
Отсюда $ x^{(2)}=0.701454$; значение локального максимума таково: $ f(x^{(2)})=1.725116$.
Теперь возьмём за начальное приближение для $ x^{(3)}$ значение $ x_0=4$. Получаем последовательные приближения
$\displaystyle x_1=3.694445;x_2=3.638416;x_3=3.636578;x_4=3.636576;x_5=3.636576.$
Итак, $ x^{(3)}=3.636576$ и значение локального минимума равно $ f(x^{(3)})=-44.75112$.
Сравнивая два значения в точках локального минимума, получаем, что
$\displaystyle \min_{x\in\mathbb{R}}f(x)=f(x^{(3)})=-44.75112.$

Рис.9.18.Примерный график функции $ f(x)$

Замечание 9.2 В случае, когда формулы для первой или второй производных функции $ f(x)$ неизвестны, но мы умеем вычислять значения самой функции $ f(x)$, можно попробовать воспользоваться формулами численного дифференцирования, которые мы обсуждали ранее, например:
$\displaystyle f'(x)\approx\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$
и
$\displaystyle f''(x)\approx\dfrac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},$

взяв в качестве шага $ h>0$ достаточно малое число (но не слишком уж малое: ранее мы видели, что выбор слишком малого шага в формулах численного дифференцирования приводит к большим погрешностям). Конечно, если мы применяем вместо производных их конечно-разностные аналоги, вычисленные с шагом $ h$, то нельзя надеяться, что приближённое значение $ \wt x$ для $ x^*$ может быть найдено с точностью $ {\varepsilon}<h$. Поэтому следует выбирать $ h<{\varepsilon}$ при заданной точности $ {\varepsilon}$, а поскольку на $ h$ есть ограничения снизу, то мы видим, что добиться таким образом очень малой погрешности при нахождении точки экстремума нельзя.

 

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для вузов. М., Физматлит, 2007. 2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чурбанов И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М., Наука, 1987. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2000. 3. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2000. 4. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления БХВ-Петербург, 2004.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)