Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Предложение 10.19 Векторное произведение $ {\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b-- коллинеарные.

Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что $ {{\bf a}\times {\bf b}=0}$ тогда и только тогда, когда $ {{\bf a}=0}$ , или $ {{\bf b}=0}$ , или $ {\sin {\varphi}=0}$ . Из последнего равенства получим, что $ {{\varphi}=0}$ или $ {{\varphi}=\pi}$ , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.

Предложение 10.20 Для любых векторов a и b и любого числа $ {\lambda}$ выполняется равенство $ {({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Вычислить предел Математика лекции примеры решения задач

Доказательство. Если $ {\lambda}=0$ , то утверждение очевидно. Если векторы a и b-- коллинеарные, то векторы $ {\lambda}{\bf a}$ и b-- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть $ {\lambda}>0$ , a, b-- неколлинеарные, $ {{\bf c}=({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}}$ , $ {{\bf d}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами $ {\lambda}{\bf a}$ и b, равны. Следовательно,

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...a}\times {\bf b}\vert={\lambda}\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$ Убедиться в потенциальности поля вектора , Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

то есть $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, $ {{\bf c}={\bf d}}$ .

Пусть $ {\lambda}<0$ . Тогда векторы $ {\lambda}{\bf a},{\bf b}$ образуют угол $ \psi, \psi=\pi-{\varphi}$ , рис. 10.25.




Рис.10.25.


Вычисляем модули:

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...\varphi})= \vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

$\displaystyle \vert{\bf d}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Векторы $ {\bf a}\times {\bf b}, {\bf c}$ и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы $ {\bf a}\times{\bf b}$ и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от $ {\lambda}{\bf a}$ к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору $ {\bf a}\times{\bf b}$ (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что $ {\bf c}={\bf d}$ .

Предложение 10.21 Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть $ {{\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}}$ .

Доказательство это свойства будет проведено позже.

С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.

Предложение 10.22 Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,
$\displaystyle S_{пар}=\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$
Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле
$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

Предложение 10.23 Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Доказательство. Пусть a и b-- любые неколлинеарные векторы, $ {{\bf c}={\bf b}}$ . Тогда вектор $ {{\bf a}\times {\bf b}\ne0}$ , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы $ {\bf a}\times{\bf b}$ и c-- неколлинеарные, поэтому $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne0}$ . С другой стороны, $ {{\bf b}\times {\bf c}={\bf b}\times {\bf b}=0}$ по предложению 10.19. Поэтому $ {{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})=0}$ . Получили, что $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .


 

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)