Линейные пространства уравнения Алгебраические структуры

Системы линейных уравнений

     Определение 15.1   Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Правило Крамера

Теорема (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное.

Пример   Решите систему уравнений

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Теорема Кронекера-Капелли

Однородная система уравнений

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

• Примеры
• Найдите общее решение системы уравнений
• Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

Группы

Пример

Кольца

Пример

Поля

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Базис и размерность пространства

 Теорема В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

Координаты векторов

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пример

Евклидово пространство

Определение   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.      

Пример

Аффинное -мерное пространство

Линейные преобразования

Определение и примеры

Пример

Упражнение Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой

Матрица линейного преобразования

Пример

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Собственные числа и собственные векторы

 Определение 19.3   Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Пример

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

 Теорема   Пусть собственные векторы преобразования соответствуют собственным числам , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов является линейно независимой.

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Теорема   Если матрица  -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.     

Пример   Приведите уравнение поверхности

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
означает множество натуральных чисел ;
означает множество всех целых чисел ;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина , зависящая от переменного . Предположим, что это переменное можно менять так, что выполняется некоторое условие : переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу . Если это так, то это "что-то" называется пределом величины при данном условии для и обозначается

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке , правая производная и левая производная задаются, соответственно, формулами

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена .

Исследование функций и построение графиков Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Приближённое нахождение корней уравнений

     Определение Пусть кривая задана как график функции и  -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , так что при из этой окрестности к графику можно проводить касательные, составляющие угол с осью .

Кривизной кривой в точке (или при ) называется число

Векторная алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности , этому уравнению не удовлетворяют.

Кривые и поверхности второго порядка Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

Определение, обозначения и типы матриц

Определение Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.      

Комплексные числа  Определение   Числа вида , где и  -- вещественные числа, называются комплексными числами.    

Свойства дифференцируемых функций В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.