[an error occurred while processing this directive]

Комплексные числа

Примеры решения задач по математике
Элементарная математика
Примеры решения задач курсовой
Кратные интегралы
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Курс лекций математического анализа
ТФКП
Типовой расчет по высшей математике
Введение в математический анализ
Определённый интеграл
Замена переменных
Числовые ряды
Правила вычисления неопределенных интегралов
Дифференциальные уравнения
Контрольная работа
Линия и плоскость в пространстве
Пределы
Непрерывность функций и точки разрыва
Производные и дифференцирование функции
Формула Тейлора
Исследование функций и построение графиков
Приближённое нахождение корней уравнений
Векторная алгебра
Линия и плоскость в пространстве
Кривые и поверхности второго порядка
Матрицы
Линейные пространства
Комплексные числа
Свойства дифференцируемых функций
 
 

    Построение поля комплексных чисел

     Определение   Числа вида $ a+bi$ , где $ a$ и $ b$  -- вещественные числа, называются комплексными числами.    

    Примеры

    Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

    Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

    Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат $ xOy$ . Каждому комплексному числу $ {z=a+bi}$ можно сопоставить точку с координатами $ {(a,b)}$ , и наоборот, каждой точке с координатами $ {(c,d)}$ можно сопоставить комплексное число $ {w=c+di}$ . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

  • Модуль и аргумент

    Тригонометрическая форма комплексного числа

    Примеры

    Показательная форма комплексного числа

    Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой $\displaystyle e^{i{\varphi}}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi},$ которая носит название формулы Эйлера.

    Примеры

    Извлечение корня из комплексного числа

    Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .

    Корни многочленов

    В разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами" мы видели, что в поле комплексных чисел любой квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами имеет корни, этих корней два, если дискриминант отличен от нуля, и один в противном случае. Теперь, когда мы имеем возможность извлекать корни из комплексных чисел, мы можем найти корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решить уравнение $\displaystyle ax^2+bx+c=0,$

    Примеры

        Пример   Решите уравнение $ {(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .
    Решение. Находим дискриминант:
    $\displaystyle D=(1+3i)^2-4(1+i)(-8+6i)=48+14i.$
    Решим уравнение $ y^2=D$ . Для этого находим $ \vert D\vert=50$ . Пусть $ {{\varphi}=\arg D}$ . Тогда $ {\cos{\varphi}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}}$ . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на $ (-1)$ . По формуле (17.15)
    $\displaystyle \sqrt D=5\sqrt2\left(\cos\frac{{\varphi}}2+i\sin\frac{{\varphi}}2\right).$
    По формулам половинного аргумента с учетом того, что $ {0<{\varphi}<\frac{\pi}2}$ , получим
    $\displaystyle \cos\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1+\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}2}=
\frac7{5\sqrt2},$
    $\displaystyle \sin\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1-\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}2}=
\frac1{5\sqrt2}.$
    Таким образом, $ {\sqrt D=7+i}$ .
    По формулам (17.16)
    $\displaystyle x_1=\frac{-1-3i+7+i}{2(1+i)}=\frac{3-i}{1+i}=1-2i,$   
    $\displaystyle x_2=\frac{-1-3i-7-i}{2(1+i)}=\frac{-4-2i}{1+i}=-3+i.$   
     

    Ответ: $ x_1=1-2i$ , $ x_2=-3+i$ .      

    Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
    $ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
    $ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
    $ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

    Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

    $\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

    Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

    Непрерывность функций и точки разрыва

    Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
    $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

    Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами \begin{subequations}\begin{gather}
 f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{...
..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
 \end{gather}\end{subequations}

    Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен $ P(x)$, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции $ f(x)$, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции $ f(x)$ приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена $ P(x)$.

    Исследование функций и построение графиков Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

    Приближённое нахождение корней уравнений

         Определение Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.
    Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число $\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$

    Векторная алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

    Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность $ S$ . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности $ S$ в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности $ S$ удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности $ S$ , этому уравнению не удовлетворяют.

    Кривые и поверхности второго порядка Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка $\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

    Определение, обозначения и типы матриц

    Определение Матрицей размеров $ m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая $ m$ строк и $ n$ столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.      

    Линейные пространства уравнения      Определение 15.1   Системой $ m$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными называется система уравнений вида $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\...
...ots\ldots\ldots\\ 
 a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$

    Свойства дифференцируемых функций В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

24.

 

Интеграл вида , если

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx.

Тогда

25.

 

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

26.

27.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

28.

29.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой