Комплексные числа

Определение Числа вида

, где

-- вещественные числа, называются комплексными числами.

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат

. Каждому комплексному числу

можно сопоставить точку с координатами

, и наоборот, каждой точке с координатами

можно сопоставить комплексное число

. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

В разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами" мы видели, что в поле комплексных чисел любой квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами имеет корни, этих корней два, если дискриминант отличен от нуля, и один в противном случае. Теперь, когда мы имеем возможность извлекать корни из комплексных чисел, мы можем найти корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решить уравнение $\displaystyle ax^2+bx+c=0,$

Примеры

    Пример Решите уравнение ${(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .

Решение. Находим дискриминант:

$\displaystyle D=(1+3i)^2-4(1+i)(-8+6i)=48+14i.$

Решим уравнение . Для этого находим $\vert D\vert=50$ . Пусть ${{\varphi}=\arg D}$ . Тогда ${\cos{\varphi}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}}$ . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на . По формуле (17.15)

$\displaystyle \sqrt D=5\sqrt2\left(\cos\frac{{\varphi}}2+i\sin\frac{{\varphi}}2\right).$

По формулам половинного аргумента с учетом того, что ${0<{\varphi}<\frac{\pi}2}$ , получим
$\displaystyle \cos\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1+\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}2}= \frac7{5\sqrt2},$

$\displaystyle \sin\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1-\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}2}= \frac1{5\sqrt2}.$

Таким образом, ${\sqrt D=7+i}$ .

По формулам (17.16)

$\displaystyle x_1=\frac{-1-3i+7+i}{2(1+i)}=\frac{3-i}{1+i}=1-2i,$

$\displaystyle x_2=\frac{-1-3i-7-i}{2(1+i)}=\frac{-4-2i}{1+i}=-3+i.$

Ответ: , .

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$\mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$\mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $\{1;2;3;4;\dots\}$ ;
$\mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$ ;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина , зависящая от переменного . Предположим, что это переменное можно менять так, что выполняется некоторое условие $\mathcal{B}$ : переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу . Если это так, то это "что-то" называется пределом величины при данном условии $\mathcal{B}$ для и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при $x\to x_0$ и этот предел равен значению , то есть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке , правая производная и левая производная задаются, соответственно, формулами $\begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}$

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена .

Исследование функций и построение графиков Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Приближённое нахождение корней уравнений

     Определение Пусть кривая задана как график функции и -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , так что при из этой окрестности к графику можно проводить касательные, составляющие угол ${\alpha}(x)$ с осью .

Кривизной кривой в точке (или при ) называется число $\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$

Векторная алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности , этому уравнению не удовлетворяют.

Кривые и поверхности второго порядка Определение Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка $\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

Определение, обозначения и типы матриц

Определение Матрицей размеров $m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Линейные пространства уравнения      Определение 15.1 Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...ots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$

Свойства дифференцируемых функций В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.