Курс лекций Свойства дифференцируемых функций

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

• Теорема Ферма
• Теорема Ролля
• Теорема Лагранжа
• Теорема Коши
• Криволинейные интегралы первого рода

Линейные дифференциальные уравнения

Правило Лопиталя

На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.

Теорема 5.5(Правило Лопиталя)   Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных:

Замечания

Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших

Сравнение бесконечно больших величин

Пусть  -- некоторая база, и и  -- функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение функций и при базе в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно больших и .

Примеры

Примеры

Другие главы электронного учебника "Математика в примерах и задачах"

Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения высших порядков

Ряды Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования функциональные и степенные Ряды Тейлора и Лорана Критерий и признаки Коши и Даламбера

Интегралы примеры решения задач определения Формула Остроградского – Грина